مرحلهٔ آلفا

راه‌حل مسئلهٔ ۷ مرحلهٔ آلفا

تمرین ۱. در شکل زیر، دو دایره به مرکز \(A\) و \(B\) رسم شده است. شعاع دو دایره برابر است. چرا مثلث‌های \(ABC\) و \(ABD\) متساوی‌الاضلاع هستند؟

تمرین ۲. در شکل زیر، دو دایره به مرکز \(A\) و \(B\) رسم شده است. شعاع دو دایره برابر است. چرا خط \(CD\) عمودمنصف پاره‌خط \(AB\) است؟

تمرین ۳. در شکل زیر، \(ABCD\) مستطیل و \(EF\) عمودمنصف قطر \(AC\) است. چرا چهارضلعی \(AECF\) لوزی است؟

تمرین ۴. عمودمنصف‌های دو وتر غیر موازی از یک دایره، یکدیگر را در نقطهٔ \(C\) قطع کرده‌اند. چرا \(C\) مرکز دایره است؟

تمرین ۵. در شکل زیر، دو دایره به مرکز \(A\) و \(B\) رسم شده است. شعاع این دو دایره یکسان هستند. پاره‌خط \(EF\) قطر مشترک دو دایره است. چرا اگر دایره‌ای به مرکز \(C\) و شعاع \(CD\) رسم کنیم، از نقاط \(E\) و \(F\) می‌گذرد؟

 

 

برش

به شکلی که از برخورد یک صفحه با یک جسم سه بعدی حاصل می‌شود، سطح مقطع آن شکل گفته می‌شود.

در ویدئو زیر می‌توانید تمام سطح مقطع‌های مکعب را ببینید.

یک استوانه را در نظر بگیرید. به خطی که مرکز دو دایره استوانه را به هم وصل می‌کند، محور استوانه می‌گویند.
سطح مقطع استوانه در برخورد با صفحه‌ای موازی با محور استوانه به چه شکل است؟

 

سطح مقطع استوانه در برخورد با صفحه موازی با قاعده استوانه و صفحهٔ مایلی که از قاعده استوانه عبور نکند چه شکلی است؟

 

در سال‌های قبل با مخروط قائم آشنا شدید. سطح مقطع‌های یک مخروط به چه شکل هستند؟

 
در پایه دوازدهم با مقاطع مخروطی بیشتر آشنا می‌شوید.

تعامد

با زاویهٔ قائمه در صفحه آشنایی دارید. همچنین می‌دانید در چه صورت دو خط در صفحه برهم عمودند. آیا تعریف عمود بودن دو خط در فضا با تعریف عمود بودن دو خط در صفحه متفاوت است؟

تعریف عمود بودن خط بر صفحه
فرض کنید خط $l$ در نقطهٔ $A$ صفحهٔ $p$ را قطع کند. خط $l$ بر صفحهٔ $p$ عمود است، هرگاه بر تمام خط‌های صفحهٔ $p$ که از نقطه $A$ می‌گذرند، عمود باشد.
به عبارت دیگر، یک خط بر یک صفحه عمود است هرگاه صفحه را قطع کند و بر تمام خطوط صفحه که از محل برخورد می‌گذرد، عمود باشد.

مثال:

در این شکل، $AE$ بر پاره‌خط‌های $AB$، $AC$، و $AD$ عمود است. همچنین خط $AE$ بر صفحهٔ گذرنده از $ABCD$ عمود است.

 

پرسش: آیا اگر خطی بر یکی از خطوط صفحه عمود باشد، بر آن صفحه نیز عمود است؟

 

همان‌طور که می‌دانید از یک نقطه روی صفحه بی‌شمار خط می‌گذرد و بررسی تمام این خطوط ناممکن است. قضیهٔ زیر شرایط ساده‌تری برای تشخیص عمود بودن خط بر صفحه معرفی می‌کند.

قضیهٔ تعامد
اگر خطی بر دو خط متقاطع از صفحه‌ای، در محل برخورد عمود باشد، بر آن صفحه عمود است.

اثبات این قضیه جزء کتاب درسی نیست. این قضیه در حل مثال‌هایی که در ادامه می‌آیند، کاربرد دارد.

تعریف عمود بودن دو صفحه بر هم
دو صفحه بر هم عمودند، هرگاه هر کدام شامل خطی باشد که بر دیگری عمود است.

 

مثال:

در این شکل صفحه $ADEH$ بر صفحه $ABCD$ عمود است.

 

هدف از سوال هایی که در ادامه می‌آیند، بررسی شهودی آن‌ها است و نه اثبات دقیق.

سؤال ۱: می دانیم در صفحه، دو خط عمود بر یک خط با هم موازی‌اند. آیا در فضا دو صفحه عمود بر یک صفحه با هم موازی‌اند؟

 

سؤال ۲: می دانیم در صفحه، دو خط عمود بر یک خط با هم موازی‌اند. آیا در فضا دو خط عمود بر یک صفحه با هم موازی‌اند؟

 

سؤال ۳: اگر یک خط بر دو صفحه عمود باشد، آن دو صفحه نسبت به‌هم چه وضعی دارند؟

 

سؤال ۴: اگر خطی بر یکی از دو صفحه موازی عمود باشد، نسبت به دیگری چه وضعی دارد؟

 

سؤال ۵: اگر یکی از دو خط موازی بر صفحه‌ای عمود باشد، وضعیت خط دیگر با صفحه چگونه است؟

بی‌شمارش!

0

آزمون منقضی شده است.

هندسهٔ فضایی- درس ۱

با مفاهیم نقطه، خط، و صفحه از قبل آشنا هستید. توجه کنید که خط و صفحه نامحدود هستند. همانطور که می‌دانید هندسه مسطحه با پنج اصل ساخته می‌شود. اصل اول اقلیدس این است: از هر دو نقطه متمایز فقط یک خط می‌گذرد.آیا این اصل در فضا نیز برقرار است؟

 

همچنین می دانید اگر دو نقطه متفاوت از یک خط را داشته باشیم، خط به طور یکتا مشخص می‌شود. چه وقت یک صفحه به‌طور یکتا مشخص می‌شود؟

 

هر یک از جملات زیر یک صفحه را مشخص می‌کنند.

الف) از یک خط و یک نقطه خارج از آن فقط یک صفحه می‌گذرد. (؟)

ب) از دو خط متقاطع فقط یک صفحه می‌گذرد. (؟)

ج) از دو خط موازی فقط یک صفحه می‌گذرد. (؟)

 

 

وضعیت دو خط متفاوت نسبت به‌هم در صفحه

۱) متقاطع: اگر در یک نقطه مشترک باشند.

۲) موازی: اگر متقاطع نباشند.


مثال. در مکعب زیر، خط گذرنده از دو نقطهٔ‌ \(A\) و \(B\) را در نظر بگیرید.

الف) حداقل سه جفت نقطه نام ببرید به‌طوری‌که خط گذرنده از آنها با خط \(AB\) در یک صفحه قرار داشته باشند.

ب) حداقل سه جفت نقطه نام ببرید به‌طوری‌که خط گذرنده از آنها با خط \(AB\) در یک صفحه قرار نداشته باشند.

ج) به‌نظر شما، در پاسخ‌ قسمت «الف»‌ و «ب»، کدام خط‌ها با خط \(AB\) موازی‌اند؟‌

د) آیا می‌توانید صفحه‌ای رسم کنید که شامل هر دو خط \(AB\) و \(CG\) باشد؟

هـ) آیا می‌توانید صفحه‌ای رسم کنید که شامل هر دو خط \(AB\) و \(DG\) باشد؟

وضعیت دو خط متفاوت نسبت به‌هم در فضا

۱) متقاطع: اگر در یک نقطه مشترک باشند.

۲) موازی: اگر در یک صفحه باشند و متقاطع نباشند.

۳) متنافر: اگر هیچ صفحه‌ای شامل هر دو آن‌ها وجود نداشته باشد.

دو خط \(d_1\) و \(d_2\) را در نظر بگیرید. برای اینکه مشخص کنیم این دو خط متنافرند یا خیر، نقطه‌ای مانند \(A\) روی \(d_2\) را در نظر بگیرید؛ صفحهٔ گذرنده از خط \(d_1\) و نقطهٔ \(A\). را \(p\) می‌نامیم. حال اگر نقطه‌ای از خط \(d_2\) روی صفحهٔ \(p\) نباشد، دو خط \(d_1\) و \(d_2\) متنافرند.
برای مثال، در شکل زیر دو خط \(d_1\) و \(d_2\) متنافرند.

وضعیت یک خط و یک صفحه نسبت به‌هم

۱) اگر خط و صفحه در یک نقطه مشترک باشند، آنگاه خط و صفحه متقاطع‌اند.

خط $d$ صفحه $p$ را در نقطه $A$ قطع کرده است.

۲) اگر خط و صفحه اشتراک نداشته باشند، آنگاه خط و صفحه موازی‌اند.

در این مکعب هر خط وجه $EFGH$ با صفحه گذرنده از وجه $ABCD$ موازی است.

۳) اگر خط و صفحه در بیش از یک نقطه مشترک باشند، آنگاه خط بر صفحه واقع است.

وضعیت دو صفحه متفاوت نسبت به‌هم

۱) اگر دو صفحه اشتراکی نداشته باشند، دو صفحه موازی‌اند.

مثال: صفحه‌های گذرنده از وجه‌های روبه‌رو در مکعب با هم موازی‌اند.

۲) اگر نقطه‌ای در هر دو صفحه مشترک باشد، دو صفحه متقاطع اند.

توجه کنید اگر دو صفحه متقاطع باشند، محل برخورد دو صفحه یک خط است که به آن فصل مشترک دو صفحه می‌گویند.

در این شکل فصل مشترک دو صفحه با خط سیاه مشخص شده است.

مقایسهٔ‌ خاصیت‌های توازی در صفحه و فضا

اصل توازی در صفحه: در هر صفحه، از هر نقطه خارج از یک خط، فقط یک خط موازی با آن می‌توان رسم کرد.

آیا معادل اصل توازی در صفحه، در فضا نیز برقرار است؟

نتیجهٔ اصل توازی در صفحه: در صفحه، دو خط موازی با یک خط، با هم موازی هستند.

معادل این خاصیت را در فضا بیان کنید و دربارهٔ درستی آن بیندیشید.

در صفحه، دو خط عمود بر یک خط، باهم موازی هستند. آیا این خاصیت در فضا نیز برقرار است؟