همرسی نیمسازهای داخلی

قضیهٔ همرسی نیم‌سازها
در هر مثلث، نیم‌ساز زاویه‌های داخلی همرس هستند.

در مثلث $ABC$، نیم‌ساز زاویه‌های $A$ و $B$ یکدیگر را در نقطهٔ $D$ قطع می‌کنند.

از $D$ بر اضلاع مثلث عمود می‌کنیم.


\[DE=DF.\quad(1)\]
چرا؟


همچنین
\[DF=DH.\quad(2)\]
چرا؟

از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) نتیجه می‌شود: \[DE=DH.\quad(3)\]
با استفاده از عکس قضیهٔ نیم‌ساز، نقطهٔ $D$ روی نیم‌ساز زاویهٔ $C$ قرار دارد.


نتیجهٔ قضیهٔ همرسی نیم‌سازها. اگر به مرکز محل برخورد نیم‌سازها و شعاع فاصلهٔ آن تا ضلع مثلث یک دایره رسم کنیم، ضلع‌های مثلث بر دایره مماس می‌شوند. به این دایره، دایره محاطی داخلی مثلث می‌گویند.

قضیهٔ نیم‌ساز و عکس آن

قضیه نیمساز. هر نقطه روی نیم‌ساز یک زاویه از دو ضلع آن زاویه فاصلهٔ یکسان دارد.

عکس قضیه نیمساز. اگر نقطه‌ای از دو ضلع یک زاویه فاصلهٔ یکسان داشته باشد، این نقطه روی نیم‌ساز آن زاویه قرار دارد.


فرض. نقطه‌ای مانند \(D\) روی نیم‌ساز زاویه‌ای مانند \(A\) قرار دارد.
حکم. فاصلهٔ نقطهٔ \(D\) از دو ضلع زاویهٔ \(A\) یکسان است.

در عکس قضیه، جای فرض و حکم عوض می‌شود.


اثبات قضیهٔ نیم‌ساز. نقطهٔ دلخواه $D$ را روی نیم‌ساز زاویهٔ ${A}$ انتخاب می‌کنیم. از $D$ دو عمود $DH$ و $DK$ را بر ضلع‌های زاویهٔ $A$ رسم می‌کنیم. باید ثابت کنیم که \(DH=DK\).

 

دو مثلث $AHD$ و $AKD$ در حالت ززض هم‌نهشت‌اند. (چرا؟)


از همنهشتی دو مثلث \(AHD\) و \(AKD\) نتیجه می‌شود که $DH=DK$.


اثبات عکس قضیهٔ نیم‌ساز. نقطهٔ $M$ از دو ضلع زاویهٔ $A$ فاصلهٔ یکسان دارد؛ یعنی اگر دو عمود $MH$ و $MK$ را بر ضلع‌های زاویهٔ $A$ وارد کنیم، آنگاه $MH=MK$. باید ثابت کنیم که \(AM\) نیم‌ساز زاویهٔ \(HAK\) است.

دو مثلث $AMH$ و $AMK$ در حالت وتر و یک‌ضلع هم‌نهشت‌اند. (چرا؟)


از همنهشتی دو مثلث \(AMH\) و \(AMK\) نتیجه می‌شود که \(H\widehat{A}M=K\widehat{A}M\). پس $AM$ نیم‌ساز زاویهٔ $A$ است.

قضیهٔ عمودمنصف و عکس آن

قضیهٔ عمودمنصّف. هر نقطه روی عمودمنصّفِ یک پاره‌خط از دو سر آن پاره‌خط فاصلهٔ یکسان دارد.

عکس قضیهٔ عمودمنصّف. اگر نقطه‌ای از دو سر یک پاره‌خط فاصلهٔ یکسان داشته باشد، این نقطه روی عمودمنصّف پاره‌خط قرار دارد.


فرض. نقطه‌ای مانند \(M\) روی عمودمنصف پاره‌خطی، مانند \(AB\)، قرار دارد.
حکم. \(MA=MB\).


اثبات قضیهٔ عمود منصف. فرض کنیم خط $d$ عمودمنصف پاره‌خط $AB$ باشد و آن را در نقطهٔ $H$ قطع کرده باشد. نقطهٔ دلخواه $M$ را روی خط $d$ انتخاب می‌کنیم.

دو مثلث $AMH$ و $BMH$ در حالت ض‌زض هم‌نهشت‌اند.(چرا؟)


اکنون، از همنهشتی دو مثلث \(AMH\) و \(BMH\) نتیجه می‌شود که $AM=BM$.


اثبات عکس قضیهٔ عمودمنصف. فرض کنیم فاصلهٔ نقطهٔ $M$ از دو سر پاره‌خط $AB$ یکسان باشد؛ یعنی $AM=BM$.

 

می‌خواهیم ثابت کنیم که نقطهٔ \(M\) روی عمودمنصف \(AB\) قرار دارد.
میانهٔ $MN$ از مثلث $AMB$ را رسم می‌کنیم. پس \(AN=BN\). حال کافی است ثابت کنیم که \(MN\) بر \(AB\) عمود است.

دو مثلث $AMN$ و $BMN$ در حالت ض‌ض‌ض هم‌نهشت‌اند. (چرا؟)


از همنهشتی دو مثلث \(AMN\) و \(BMN\) نتیجه می‌شود: \[A\widehat{N}M=B\widehat{N}M=90^\circ.\] پس \(MN\) هم \(AB\) را نصف می‌کند و هم بر آن عمود است. بنابراین، نقطهٔ \(M\) روی عمودمنصف \(AB\) قرار دارد.

 

آزمون هندسه دهم

باید به‌موقع می‌آمدید! آزمون غیرفعال شده است.

آزمون پایان‌ترم هندسه دهم

آزمون پایان ترم هندسه دهم در ساعت ۸ صبح روز ۱۷ خرداد در همین صفحه فعال می‌شود.

سعی کنید بدون تأخیر در آزمون شرکت کنید.

مدت زمان آزمون ۸۰ دقیقه است.

برای اینکه نمره شما ثبت شود در پایان آزمون روی « مشاهده نتیجه» کلیک کنید.

با‌ آرزوی موفقیت

 

باید به‌موقع می‌آمدید! آزمون غیرفعال شده است.

test

0

test

asfasdf

شما نیاز به افزودن پرسش‌ها دارید

امتیاز شما

محاسبه حجم حاصل از دوران یک متوازی‌الاضلاع حول یکی از اضلاعش

فرض کنید در متوازی‌الاضلاع $ABCD$ زاویه‌های \(A\) و \(C\) تند باشند. حجم حاصل از دوران $ABCD$ حول ضلع $AD$ چقدر است؟

از رأس‌های \(A\) و \(C\) ارتفاع‌های وارد بر \(BC\) و \(AD\) را رسم می‌کنیم.

حجم حاصل از دوران مستطیل \(AECF\) حول $AD$ برابر است با:
\[V_1=\pi AF^2 \times AE.\]
از طرفی، \(BF=DE\). چرا؟

حجم حاصل از دوران مثلث $CDE$ حول ضلع $DE$ برابر است با:
\[\begin{aligned}V_2&=\frac{\pi}{3}CE^2\times DE\\[7pt]&=\frac{\pi}{3}AF^2\times DE.\end{aligned}\]
حجم حاصل از دوران مثلث $ABF$ حول $AD$ برابر است با:
\[V_3=\frac{2\pi}{3}AF^2\times DE.\]
چرا؟

حجم حاصل از دوران متوازی‌الاضلاع $ABCD$ حول $AD$ برابر است با:
\[\begin{aligned}V&=V_1-V_2-V_3\\[7pt]&=V_1-(V_2+V_3)\\[7pt]&=\pi AF^2\times AE-\Big(\frac{\pi}{3}AF^2\times DE+\frac{2\pi}{3}AF^2\times DE\Big)\\[7pt]&=\pi\Big(AF^2\times AE-\big(\frac{1}{3}AF^2\times DE+\frac{2}{3}AF^2\times DE\big)\Big)\\[7pt]&=\pi\Big(AF^2\times AE-AF^2\times DE\Big)\\[7pt]&=\pi AF^2(AE-DE)\\[7pt]&=\pi AF^2\times AD.\end{aligned}\]

در ویدئو زیر می‌توانید شکل حاصل از دوران یک متوازی‌الاضلاع را ببینید.

مرحلهٔ بتا

تمرین ۱. در شکل زیر، برای رسم نیم‌ساز زاویهٔ \(A\)، ابتدا دایره‌ای به مرکز \(A\) و شعاع دلخواه رسم شده است تا ضلع‌های زاویهٔ‌ \(A\) را در نقاط \(B\) و \(C\) قطع کند. سپس، دایره‌ٔ دوم به مرکز \(B\) و شعاع \(BA\) رسم شده، و دایرهٔ سوم به مرکز \(C\) و شعاع \(CA\) رسم شده است. دایرهٔ دوم و سوم یکدیگر را در نقاط \(A\) و \(D\) قطع کرده‌اند. ثابت کنید که \(AD\) نیمساز زاویهٔ‌ \(BAC\) است.

در مسئلهٔ ۲ مرحلهٔ بتا باید با دو روش مسئله را حل کنیم.
روش اول: با 2L. برای پیدا کردن محل برخورد نیمسازهای مثلث، کافی است با استفاده از ابزار نیمساز، نیمساز دو زاویه از مثلث داده شده را رسم کنیم. محل برخورد این دو نیمساز، نقطهٔ مورد نظر است.
روش دوم: با 6E. این کار را با رسم چهار دایره و دو خط انجام می‌دهیم. در ادامه توضیحات مفصلی برای این راه‌حل آمده است.

مثلث داده شده را \(ABC\) می‌نامیم.

برای رسم نیمساز زاویهٔ \(A\)، ابتدا دایره‌ای به مرکز \(A\) و شعاع \(AB\) رسم می‌کنیم و محل برخورد آن با \(AC\) را \(P\) می‌نامیم.

حال دو دایره رسم می‌کنیم: دایرهٔ اول به مرکز \(B\) و شعاع \(BA\)، و دایرهٔ دوم به مرکز \(P\) و شعاع \(PA\). این دو دایره یکدیگر را در نقاط \(A\) و \(X\) قطع می‌کنند. پس با توجه به تمرین ۱، \(AX\) نیم‌ساز زاویه‌ٔ \(BAC\) است. (شکلش چه‌جوری می‌شه؟!)

اکنون می‌خواهیم نیمساز زاویهٔ \(B\) را رسم کنیم.

برای رسم نیمساز زاویهٔ \(B\)، ابتدا دایره‌ای به مرکز \(B\) و شعاع \(BA\) رسم می‌کنیم و محل برخورد آن با \(BC\) را \(Q\) می‌نامیم. (توجه کنید که این دایره را قبلاً رسم کرده‌ایم.)

حال دو دایره رسم می‌کنیم: دایرهٔ اول به مرکز \(A\) و شعاع \(AB\) (این دایره را قبلاً رسم کرده‌ایم)، و دایرهٔ دوم به مرکز \(Q\) و شعاع \(QB\). این دو دایره یکدیگر را در نقاط \(B\) و \(Y\) قطع می‌کنند. پس با توجه به تمرین ۱، \(BY\) نیم‌ساز زاویه‌ٔ \(ABC\) است. (شکلش چه‌جوری می‌شه؟!)


حال محل برخورد \(AX\) و \(BY\) نقطهٔ مورد نظر است.

تمرین ۲. در شکل بالا، چرا نیمساز زاویهٔ \(C\) از نقطهٔ نارنجی می‌گذرذ؟