مرور میانترم

37

مرور میانترم

1 / 41

در ذوزنقه $ABCD$ قطرها یکدیگر را در $O$ قطع کرده‌اند و همچنین $AD\parallel BC$. اگر $\dfrac{OD}{OB}=\dfrac{1}{3}$ و $S_{COD}=6$ باشد، مساحت $ABC$ چقدر است؟

2 / 41

اندازه دو ضلع قائم از یک مثلث قائم‌الزاویه $2$ و $6$ است. عمودمنصف وتر امتداد ضلع کوچکتر را در $M$ قطع می‌کند. فاصله $M$ از نزدیکترین رأس مثلث چقدر است؟

3 / 41

مثلثی با اضلاع $a$ و $b$ و $3$ با مثلثی با اضلاع $3$ و $4$ و $5$ متشابه است. دو مثلث هم‌نهشت نیستند. بیشترین محیط برای مثلث اول چقدر است؟

4 / 41

در مستطیل $ABCD$ نقطهٔ $F$ روی ضلع $CD$ چنان قرار دارد که $AF$ بر $BD$ عمود است. اگر $AB=3AD$ باشد، $CD$ چند برابر $DF$ است؟

5 / 41

کدام دو شکل همواره متشابه هستند؟

6 / 41

در یک مثلث قائم‌الزاویه، از وسط وتر عمودی بر ضلع قائم فرود می‌آوریم تا مثلث جدید تشکیل شود. مساحت مثلث اصلی چند برابر مساحت مثلث جدید است؟

7 / 41

در ذوزنقه $ABCD$، $AB\parallel CD$. نقاط $M$ و $N$ به ترتیب وسط اضلاع $AD$ و $AB$ قرار دارند. اگر $\frac{AB}{CD}=\frac{2}{3}$باشد، نسبت مساحت چهارضلعی $MNBD$ به مساحت ذوزنقهٔ $ABCD$کدام است؟

8 / 41

در مثلث $ABC$، $AB=AC$. نقطه $P$ روی ضلع $AB$ طوری قرار دارد که $AB=3BP$. از $P$ عمودی بر $BC$ رسم می‌کنیم تا $BC$ را در $K$ قطع کند. مساحت مثلث $ABC$ چند برابر مساحت مثلث $BPK$ است؟

9 / 41

در مثلث $ABC$، وسط دو ضلع را به‌هم وصل کرده‌ایم تا به یک مثلث و یک چهارضلعی تجزیه شود، نسبت مساحت چهارضلعی به مساحت مثلث ایجاد شده چقدر است؟

10 / 41

در مثلث $ABC$، $\widehat{A} =90^\circ $و $AH$ ارتفاع است. اگر $AC=2AB$ باشد، مساحت مثلث $ABC$ چند برابر مساحت $ABH$ است؟

11 / 41

نسبت مساحت‌های دو پنج‌ضلعی منتظم $\frac{4}{9}$ است. اگر ضلع یکی از آن‌ها $6$ باشد، اندازه ضلع دیگری کدام است؟

12 / 41

نقاط $M$ و $N$ روی اضلاع مثلث $ABC$ چنان انتخاب شدند که $MN\parallel BC$. اگر مساحت ذوزنقه $MNCB$ هشت برابر مساحت مثلث $AMN$ باشد، $\frac{MB}{AM}$ چقدر است؟

13 / 41

طول اضلاع یک مثلث $10$ و $11$ و $15$ واحد است و طول بلندترین ضلع مثلثی متشابه آن، $10$ واحد است. محیط مثلث دوم چقدر است؟

14 / 41

در ذوزنقه $ABCD$، $AB\parallel CD$. اگر $AB=AD=4$ و $BC=BD=6$ باشد، $CD$ چقدر است؟

15 / 41

نقطه $D$ روی ضلع $BC$ از مثلث $ABC$ چنان قرار دارد که $\widehat{B}=C\widehat{A}D$. اگر $AC=4$ و
$BD=6$، طول $BC$ را حساب کنید.

16 / 41

در مثلث $ABC$، $\widehat{A} =90^\circ $ و $AH$ ارتفاع است. اگر $CH=4$ و $AB=3\sqrt{13} $ باشد، $AH$ چقدر است؟

17 / 41

در مثلث $ABC$، $\widehat{A} =90^\circ $ و $AH$ ارتفاع است. اگر $CH=4$ و $AB=3\sqrt{13} $ باشد، $AC$ کدام است؟

18 / 41

در شکل زیر، $BE\parallel CF$ و $CE\parallel DF$. اگر $AB=4$ و $BC=6$ باشد، $AD$ چقدر است؟

19 / 41

در متوازی‌الاضلاع $ABCD$، نقطهٔ $N$ را روی ضلع $BC$ انتخاب می‌کنیم. $AN$ قطر $BD$ را در $M$ و امتداد ضلع $CD$ را در $P$ قطع می‌کند. $MP\times MN$ برابر است با:

20 / 41

در شکل زیر، $BE\parallel CF$ و $CE\parallel DF$. اگر $CD=7$ و $BC=3$ باشد، $AD$ چقدر است؟

21 / 41

در یک ذورنقه متساوی‌الساقین، طول قاعده‌ها $9$ و $15$ و طول ساق $5$ واحد است. فاصله نقطه تلاقی دو ساق ذوزنقه از قاعده کوچکتر چقدر است؟

22 / 41

در شکل زیر، $BE\parallel CF$ و $CE\parallel DF$. اگر $AB=5$ و $BC=3$ باشد، $CD$ چقدر است؟

23 / 41

در مثلث $ABC$ ، نقاط $D$ و $E$ به ترتیب روی $AB$ و $AC$ قرار دارند به‌طوریکه
$DE\parallel BC$ و $\frac{AD}{BD}=\frac{4}{5}$. مساحت مثلث $BCE$ چند برابر مساحت مثلث $BDE$ است؟

24 / 41

در مثلث $ABC$، $\widehat{A}=90^\circ$ و $5AB=3AC=60$. $AD$ نمیساز زاویه $A$ و از $D$ خطی موازی با $AB$ رسم می‌کنیم تا $AC$ را در $E$ قطع کند.$EC$ چقدر است؟

25 / 41

واسطه هندسی بین دو پاره خط $6$ و $24$ واحدی، چقدر است؟

26 / 41

اگر $b$ واسطه هندسی بین $9$ و $a$ باشد و $6$ واسطه هندسی بین $8$ و $b$ باشد، آنگاه $2a+b$ چقدر است؟

27 / 41

در ذوزنقه $ABCD$ قطرها یکدیگر را در $O$ قطع کرده‌اند و همچنین $AD\parallel BC$. اگر $\dfrac{OD}{OB}=\dfrac{1}{3}$ و $S_{COD}=6$ باشد، مساحت $BCD$ چقدر است؟

28 / 41

دو قطر یک ذوزنقه قائم‌الزاویه برهم عمودند. اگر طول قاعده‌های این ذوزنقه $4$ و $9$ باشد، مساحت ذوزنقه چقدر است؟

29 / 41

در مثلث $ABC$، نقطه $D$ روی ضلع $AB$ و نقطه $E$ روی ضلع $BC$ قرار دارد به‌طوری‌که $‎\dfrac{BD}{DA}=‎\dfrac{1}{2}‎‎$ و $‎\dfrac{CE}{EB}=‎\dfrac{1}{4}‎‎$. پاره‌خط‌های $CD$ و $AE$ یکدیگر را در $F$ قطع می‌کنند. نسبت $‎\dfrac{CF}{FD}‎$ چقدر است؟

30 / 41

در مثلث $ABC$، $\widehat{A} =90^\circ $ و $AH$ ارتفاع است. اگر $BH=9$ و $AC=2\sqrt{13} $ باشد، $AB$ کدام است؟

31 / 41

در مثلث $ABC$، $\widehat{A} =90^\circ $ و $AH$ ارتفاع است. اگر $BH=9$ و $AC=2\sqrt{13} $ باشد، $AH$ را حساب کنید.

32 / 41

در مثلث $ABC$، زاویه $A$ دو برابر زاویه $C$ و طول $BC$ دو واحد بیشتر از طول $AB$ است و $AC=5$. طول $BC$ را حساب کنید.

33 / 41

در مثلث $ABC$، زاویه $A$ دو برابر زاویه $C$ و طول $BC$ دو واحد بیشتر از طول $AB$ است و $AC=5$. طول $AB$ را حساب کنید.

34 / 41

در مثلث $ABC$، $AB=60$، $AC=40$ و $BC=30$ است. نقاط $D$، $E$ و $F$ را به‌ترتیب بر $AB$، $BC$ و $AC$ انتخاب کرده‌ایم. اگر $ADEF$ لوزی باشد، طول $AD$ را حساب کنید.

35 / 41

در مستطیل $ABCD$، زاویهٔ بین دو قطر $60^\circ$ و عرض مستطیل برابر $1$ است. در مستطیل $MNPQ$ زاویه بین دو قطر $120^\circ$ و طول مستطیل برابر $6$ واحد است. کدام یک از عبارت‌های زیر صحیح است؟

36 / 41

اگر $\frac{a+2b}{6}=\frac{3b-c}{3}=\frac{2c-4b}{7}=\frac{1}{4}$ باشد، مقدار $a+b+c$ چقدر است؟

37 / 41

اگر $\frac{a}{1}=\frac{b}{2}=\frac{c}{3}=\frac{d}{4}=\frac{e}{5}$، آنگاه $\frac{b+c+d+e}{a}-\frac{a+b+d+e}{c}$ چقدر است؟

38 / 41

اگر $\frac{a}{5}=\frac{b}{3}=\frac{c}{10}$ باشد،آنگاه $\frac{a+c}{b}$ چقدر است؟

39 / 41

اگر $\frac{b}{3}=\frac{a}{4}=\frac{c}{5}=\frac{c+2a-3b}{x}$ باشد، $x$ چقدر است؟

40 / 41

اگر $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=\frac{3}{5}$، حاصل $x+2y+3z$ چقدر است؟

41 / 41

اگر $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{6}=\frac{7}{11}$، حاصل $x+y+z$ چقدر است؟

امتیاز شما

میانترم

137

1 / 10

در شکل زیر، $BE\parallel CF$ و $CE\parallel DF$. اگر $AB=5$ و $BC=3$ باشد، $CD$ چقدر است؟

2 / 10

اگر $\frac{b}{3}=\frac{a}{4}=\frac{c}{5}=\frac{c+2a-3b}{x}$ باشد، $x$ چقدر است؟

3 / 10

در مثلث $ABC$، نقطه $D$ روی ضلع $AB$ و نقطه $E$ روی ضلع $BC$ قرار دارد به‌طوری‌که $‎\dfrac{BD}{DA}=‎\dfrac{1}{2}‎‎$ و $‎\dfrac{CE}{EB}=‎\dfrac{1}{4}‎‎$. پاره‌خط‌های $CD$ و $AE$ یکدیگر را در $F$ قطع می‌کنند. نسبت $‎\dfrac{CF}{FD}‎$ چقدر است؟

4 / 10

اندازه دو ضلع قائم از یک مثلث قائم‌الزاویه $2$ و $6$ است. عمودمنصف وتر امتداد ضلع کوچکتر را در $M$ قطع می‌کند. فاصله $M$ از نزدیکترین رأس مثلث چقدر است؟

5 / 10

واسطه هندسی بین دو پاره خط $6$ و $24$ واحدی، چقدر است؟

6 / 10

در متوازی‌الاضلاع $ABCD$، نقطهٔ $N$ را روی ضلع $BC$ انتخاب می‌کنیم. $AN$ قطر $BD$ را در $M$ و امتداد ضلع $CD$ را در $P$ قطع می‌کند. $MP\times MN$ برابر است با:

7 / 10

نسبت مساحت‌های دو پنج‌ضلعی منتظم $\frac{4}{9}$ است. اگر ضلع یکی از آن‌ها $6$ باشد، اندازه ضلع دیگری کدام است؟

8 / 10

در مثلث $ABC$، $\widehat{A} =90^\circ $ و $AH$ ارتفاع است. اگر $BH=9$ و $AC=2\sqrt{13} $ باشد، $AB$ کدام است؟

9 / 10

نقاط $M$ و $N$ روی اضلاع مثلث $ABC$ چنان انتخاب شدند که $MN\parallel BC$. اگر مساحت ذوزنقه $MNCB$ هشت برابر مساحت مثلث $AMN$ باشد، $\frac{MB}{AM}$ چقدر است؟

10 / 10

در ذوزنقه $ABCD$، $AB\parallel CD$. نقاط $M$ و $N$ به ترتیب وسط اضلاع $AD$ و $AB$ قرار دارند. اگر $\frac{AB}{CD}=\frac{2}{3}$باشد، نسبت مساحت چهارضلعی $MNBD$ به مساحت ذوزنقهٔ $ABCD$کدام است؟

امتیاز شما

مرور امتحان مهرماه

27

مرور امتحان مهر

1 / 28

کدام‌یک از قضایای زیر دو شرطی نیست؟

2 / 28

نقیض گزارۀ «مجموع زوایای داخلی هر مثلث $180$ درجه می‌باشد.» کدام است؟

3 / 28

نقیض گزارۀ «مجموع زوایای داخلی هر چهارضلعی محدب برابر $^\circ 360$ است.» کدام است؟

4 / 28

در چهارضلعی محدب $ABCD$، $AB$ بزرگ‌ترین ضلع و $CD$ کوچک‌ترین ضلع است. کدام‌یک از نامساوی‌های زیر در این چهارضلعی همواره صحیح است؟

5 / 28

از هر رأس مثلث مختلف‌الاضلاع$ABC$، خطی به موازات ضلع مقابلش رسم می‌کنیم تا مثلث دیگری به وجود آید. کدام یک از اجزاء دو مثلث بر هم منطبق‌اند؟

6 / 28

دو دایره یکدیگر را در نقطه‌های \(A\) و \(B\) قطع کرده‌اند. اگر \(AC\) قطری از دایرهٔ اول و \(AD\) قطری از دایرهٔ دوم باشد، کدام گزینه صحیح است؟

7 / 28

چند نقطه در صفحه وجود دارد که فاصلۀ آن‌ها از هر کدام از دو خط متقاطع $d_1$ و $d_2$، برابر $2$ سانتی‌متر باشد؟

8 / 28

خط $d$ و نقطهٔ $A$ خارج از آن را در نظر بگیرید. به مرکز $A$ و شعاع دلخواه دایره $c$ را رسم می‌کنیم به‌طوریکه خط $d$ را در دو نقطه مانند $M$ و $N$ قطع کند. امتداد پاره‌خط $AN$ دایرهٔ $c$ را در $P$ قطع می‌کند و امتداد پاره‌خط $AM$ دایرهٔ $c$ را در $Q$ قطع می‌کند. $PQ$ و $MN$ نسبت به‌ هم چه وضعی دارند؟

9 / 28

خط $d$ و نقطهٔ $A$ خارج از آن را در نظر بگیرید. به مرکز $A$ دایرهٔ $c$ را طوری رسم می‌کنیم تا خط $d$ را در دو نقطهٔ مانند $M$ و $N$ قطع کند. خط گذرنده از $AN$ دایره $c$ را در $P$ قطع می‌کند. زاویه $PMN$ چند درجه است؟

10 / 28

در مثلث $ABC$، نقاط $D$ و $E$ را به ترتیب روی اضلاع $AB$ و $AC$ به گونه ای انتخاب می کنیم که $AD=AE$ باشد. از $D$ عمودی بر $AB$ و از $E$ عمودی بر $AC$ رسم می کنیم تا همدیگر را در نقطه ی $M$ قطع کنند. نقطه ی $M$ همواره بر کدام یک از خطوط زیر واقع است؟

11 / 28

مثلث $ABC$ را در نظر بگیرید. چند نقطه وجود دارد که از دو سر پاره‌خط $AB$ به یک فاصله بوده و همچنین از دو ضلع $AB$ و $BC$ و یا امتداد آن‌ها به یک فاصله باشند؟

12 / 28

در مثلث $ABC$، می‌دانیم $AB > AC$. کدام گزینه درست است؟

13 / 28

خط $d$ و نقطهٔ $A$ خارج از آن را در نظر بگیرید. دو نقطهٔ دلخواه $M$ و $N$ را روی $d$ انتخاب می‌کنیم. به مرکز $M$ و شعاع $AM$ دایرهٔ $c_1$ را رسم می‌کنیم. به مرکز $N$ و شعاع $AN$ دایرهٔ $c_2$ را رسم می‌کنیم. اگر دو دایرهٔ $c_1$ و $c_2$ یکدیگر را در $B$ قطع کنند، پاره‌خط $AB$ نسبت به خط $d$ چه وضعیتی دارد.

14 / 28

مثلث $ABC$ را در نظر بگیرید. اگر $M$، $N$ و $P$ وسط اضلاع مثلث $ABC$ باشند، عمودمنصف‌های اضلاع مثلث $ABC$ چه جز فرعی از مثلث $MNP$ هستند.

15 / 28

عبارت(های) صحیح را مشخص کنید.

16 / 28

مثلث $ABC$ را در نظر بگیرد. چند نقطه وجود دارد که فاصلهٔ آن از سه ضلع مثلث یا امتداد آن‌ها، یکسان باشد.

17 / 28

نقاط $A$ و $B$ به فاصلهٔ $8$ از هم قرار دارند. چند نقطه وجود دارد که فاصلهٔ اش از نقطهٔ $A$ برابر $4$ و از نقطهٔ $B$ برابر $5$ است.

18 / 28

روی نیم‌خط $Ax$، نقطهٔ دلخواه $B$ را انتخاب می‌کنیم. به مرکز $B$ و شعاع $AB$ دایره $c$ را رسم می کنیم. اگر محل برخورد عمودی که از $B$ بر نیم‌خط ‌$Ax$ خارج می‌شود دایره $c$ را در $D$ قطع کند، زاویهٔ $DAB$ چند درجه است؟

19 / 28

کدام یک از زاویه‌های زیر فقط با یک خط و رسم نیمساز قابل رسم هستند؟

20 / 28

گزینه‌های صحیح را مشخص کنید.

21 / 28

کدامیک از گزینه‌های زیر بیان کننده اصل توازی است؟

22 / 28

در مثلث $ABC$، نیمساز زاویه $A$ ضلع $BC$ را در $D$ قطع می‌کند. کدام (ها) گزینه همواره صحیح است؟

23 / 28

عبارت « نقطه همرسی عمودمنصف‌های اضلاع هر مثلث، داخل یا خارج مثلث قرار دارد.» را در نظر بگیرید. چه نوع مثلثی مثال نقض این عبارت است؟

24 / 28

دایره‌ای به مرکز $P$ و دایره‌ای به مرکز $Q$ یکدیگر را در دو نقطهٔ $X$ و $Y$ قطع کرده‌اند. اگر شعاع این دو دایره یکسان نباشد، آن‌وقت عبارت‌ (یا عبارت‌های) درست را علامت بزنید.

25 / 28

دایره‌ای به مرکز $P$ و دایره‌ای به مرکز $Q$ یکدیگر را در دو نقطهٔ $X$ و $Y$ قطع کرده‌اند. اگر شعاع این دو دایره یکسان باشد، آن‌وقت عبارت‌ (یا عبارت‌های) درست را علامت بزنید.

26 / 28

صبا نقطهٔ $A$ را روی خط $\ell$ قرار داد و به شعاعی دلخواه دایره‌ای به مرکز $A$ رسم کرد. این دایره خط $\ell$ را در نقطهٔ $B$ قطع کرد. سپس صبا به شعاع $AB$ و مرکز $B$دایرهٔ دیگری رسم کرد که دایرهٔ اول را در نقاط $M$ و $N$ قطع کرد. زاویهٔ $M\widehat{A}N$ چند درجه است؟

27 / 28

نقطه‌های $P$ و $Q$ روی خط $\ell$ مفروض‌اند. به مرکز $P$ و شعاع $PQ$ دایرهٔ $c$ را رسم کرده‌ایم؛ این دایره خط $\ell$ را در نقطهٔ $R$ قطع می‌کند. به مرکز $R$ و شعاع $RP$ دایرهٔ دیگری رسم می‌کنیم تا دایرهٔ $c$ را در نقطهٔ $T$ قطع کند. اندازهٔ زاویهٔ $RQT$ چند درجه است؟

28 / 28

در مستطیل \(ABCD\) داریم \(AB > BC\). فرض کنید عمودمنصف قطر این مستطیل، ضلع‌های \(AB\) و \(CD\) را به‌ترتیب در نقاط \(E\) و \(F\) قطع کرده باشد. اگر \(AE=5\)، آن‌وقت محیط چهارضلعی \(AECF\) چقدر است؟

امتیاز شما

مهرماه-امتحان فصل ۱

221

آزمون فصل ۱ هندسهٔ دهم

زمان آزمون به‌ پایان رسید!


امتحان فصل ۱

نام، نام خانوادگی، و ایمیلتان را وارد کنید.

1 / 10

عبارت « نقطه همرسی عمودمنصف‌های اضلاع هر مثلث، داخل یا خارج مثلث قرار دارد.» را در نظر بگیرید. چه نوع مثلثی مثال نقض این عبارت است؟

2 / 10

کدام‌یک از قضایای زیر دو شرطی نیست؟

3 / 10

دایره‌ای به مرکز $P$ و دایره‌ای به مرکز $Q$ یکدیگر را در دو نقطهٔ $X$ و $Y$ قطع کرده‌اند. اگر شعاع این دو دایره یکسان نباشد، آن‌وقت عبارت‌ (یا عبارت‌های) درست را علامت بزنید.

4 / 10

کدام یک از زاویه‌های زیر فقط با یک خط و رسم نیمساز قابل رسم هستند؟

5 / 10

مثلث $ABC$ را در نظر بگیرد. چند نقطه وجود دارد که فاصلهٔ آن از سه ضلع مثلث یا امتداد آن‌ها، یکسان باشد.

6 / 10

روی نیم‌خط $Ax$، نقطهٔ دلخواه $B$ را انتخاب می‌کنیم. به مرکز $B$ و شعاع $AB$ دایره $c$ را رسم می کنیم. اگر محل برخورد عمودی که از $B$ بر نیم‌خط ‌$Ax$ خارج می‌شود دایره $c$ را در $D$ قطع کند، زاویهٔ $DAB$ چند درجه است؟

7 / 10

در مستطیل \(ABCD\) داریم \(AB > BC\). فرض کنید عمودمنصف قطر این مستطیل، ضلع‌های \(AB\) و \(CD\) را به‌ترتیب در نقاط \(E\) و \(F\) قطع کرده باشد. اگر \(AE=5\)، آن‌وقت محیط چهارضلعی \(AECF\) چقدر است؟

8 / 10

از هر رأس مثلث مختلف‌الاضلاع$ABC$، خطی به موازات ضلع مقابلش رسم می‌کنیم تا مثلث دیگری به وجود آید. کدام یک از اجزاء دو مثلث بر هم منطبق‌اند؟

9 / 10

مثلث $ABC$ را در نظر بگیرید. چند نقطه وجود دارد که از دو سر پاره‌خط $AB$ به یک فاصله بوده و همچنین از دو ضلع $AB$ و $BC$ و یا امتداد آن‌ها به یک فاصله باشند؟

10 / 10

خط $d$ و نقطهٔ $A$ خارج از آن را در نظر بگیرید. به مرکز $A$ و شعاع دلخواه دایره $c$ را رسم می‌کنیم به‌طوریکه خط $d$ را در دو نقطه مانند $M$ و $N$ قطع کند. امتداد پاره‌خط $AN$ دایرهٔ $c$ را در $P$ قطع می‌کند و امتداد پاره‌خط $AM$ دایرهٔ $c$ را در $Q$ قطع می‌کند. $PQ$ و $MN$ نسبت به‌ هم چه وضعی دارند؟

امتیاز شما

امتحان فصل ۱

221

آزمون فصل ۱ هندسهٔ دهم

زمان آزمون به‌ پایان رسید!


امتحان فصل ۱

نام، نام خانوادگی، و ایمیلتان را وارد کنید.

1 / 10

روی نیم‌خط $Ax$، نقطهٔ دلخواه $B$ را انتخاب می‌کنیم. به مرکز $B$ و شعاع $AB$ دایره $c$ را رسم می کنیم. اگر محل برخورد عمودی که از $B$ بر نیم‌خط ‌$Ax$ خارج می‌شود دایره $c$ را در $D$ قطع کند، زاویهٔ $DAB$ چند درجه است؟

2 / 10

از هر رأس مثلث مختلف‌الاضلاع$ABC$، خطی به موازات ضلع مقابلش رسم می‌کنیم تا مثلث دیگری به وجود آید. کدام یک از اجزاء دو مثلث بر هم منطبق‌اند؟

3 / 10

خط $d$ و نقطهٔ $A$ خارج از آن را در نظر بگیرید. به مرکز $A$ و شعاع دلخواه دایره $c$ را رسم می‌کنیم به‌طوریکه خط $d$ را در دو نقطه مانند $M$ و $N$ قطع کند. امتداد پاره‌خط $AN$ دایرهٔ $c$ را در $P$ قطع می‌کند و امتداد پاره‌خط $AM$ دایرهٔ $c$ را در $Q$ قطع می‌کند. $PQ$ و $MN$ نسبت به‌ هم چه وضعی دارند؟

4 / 10

نقیض گزارۀ «مجموع زوایای داخلی هر مثلث $180$ درجه می‌باشد.» کدام است؟

5 / 10

خط $d$ و نقطهٔ $A$ خارج از آن را در نظر بگیرید. به مرکز $A$ دایرهٔ $c$ را طوری رسم می‌کنیم تا خط $d$ را در دو نقطهٔ مانند $M$ و $N$ قطع کند. خط گذرنده از $AN$ دایره $c$ را در $P$ قطع می‌کند. زاویه $PMN$ چند درجه است؟

6 / 10

مثلث $ABC$ را در نظر بگیرد. چند نقطه وجود دارد که فاصلهٔ آن از سه ضلع مثلث یا امتداد آن‌ها، یکسان باشد.

7 / 10

خط $d$ و نقطهٔ $A$ خارج از آن را در نظر بگیرید. دو نقطهٔ دلخواه $M$ و $N$ را روی $d$ انتخاب می‌کنیم. به مرکز $M$ و شعاع $AM$ دایرهٔ $c_1$ را رسم می‌کنیم. به مرکز $N$ و شعاع $AN$ دایرهٔ $c_2$ را رسم می‌کنیم. اگر دو دایرهٔ $c_1$ و $c_2$ یکدیگر را در $B$ قطع کنند، پاره‌خط $AB$ نسبت به خط $d$ چه وضعیتی دارد.

8 / 10

در چهارضلعی محدب $ABCD$، $AB$ بزرگ‌ترین ضلع و $CD$ کوچک‌ترین ضلع است. کدام‌یک از نامساوی‌های زیر در این چهارضلعی همواره صحیح است؟

9 / 10

کدام یک از زاویه‌های زیر فقط با یک خط و رسم نیمساز قابل رسم هستند؟

10 / 10

دو دایره یکدیگر را در نقطه‌های \(A\) و \(B\) قطع کرده‌اند. اگر \(AC\) قطری از دایرهٔ اول و \(AD\) قطری از دایرهٔ دوم باشد، کدام گزینه صحیح است؟

امتیاز شما

‌قضیه نابرابری ضلع‌ها

قضیهٔ نابرابری ضلع‌ها
اگر در مثلثی دو زاویه نابرابر باشند، ضلع روبه‌رو به زاویه بزرگتر از ضلع روبه‌رو به زاویه کوچکتر، بزرگتر است.

فرض. در مثلث، مانند \(ABC\)، $A\widehat{C}B < A\widehat{B}C$.
حکم. $AB < AC$.


اثبات قضیهٔ نابرابری ضلع‌ها.


با روش برهان غیر مستقیم فرض کنیم حکم نادرست باشد، پس $AB\nless AC$.
در نتیجه $AB=AC$ یا $AC < AB$.
اگر $AB=AC$ باشد، مثلث $ABC$ متساوی‌الساقین است و در نتیجه $A\widehat{C}B = A\widehat{B}C$ که با فرض در تناقض است.
اگر $AC < AB$ باشد، با استفاده از قضیهٔ نابرابری زاویه ها، نتیحه می‌گیریم $A\widehat{‌B}C < A\widehat{C}B$ که با فرض در تناقض است.
در هر دو حالت به نتاقض رسیدیم. پس فرض $AB\nless AC$ ناممکن و حکم درست است.

قضیهٔ نابرابری زاویه ها

قضیهٔ نابرابری زاویه‌ها
اگر در مثلثی دو ضلع نابرابر باشند، زاویه روبه‌رو به ضلع بزرگتر از زاویه روبه‌رو به ضلع کوچکتر، بزرگتر است.

فرض. در مثلث، مانند \(ABC\)، $AB < AC.$

حکم. $A\widehat{C}B < A\widehat{B}C.$


اثبات قضیهٔ نابرابری زاویه‌ها.

به مرکز $A$ و شعاع $AB$ دایره‌ای رسم می‌کنیم تا ضلع $AC$ را در نقطهٔ $D$ قطع کند.

مثلث $ABD$ متساوی‌الساقین است.

\[A\widehat{B}D =A\widehat{D}B.\quad(1)\]
زاویه $ADB$ زاویه خارجی مثلث $BCD$ است. پس
\[A\widehat{D}B= \widehat{B}_1+\widehat{C}.\]
می‌توان نتیجه گرفت
\[ \widehat{C} < A\widehat{D}B.\quad(2)\]
با مقایسه رابطه‌های $(1)$ و $(2)$ نتیجه می‌گیریم
\[ A\widehat{C}B < A\widehat{B}C.\]

همرسی ارتفاع‌ها

قضیهٔ همرسی ارتفاع‌ها
در هر مثلث، ارتفاع‌ها همرس هستند.

از هر رأس مثلث خطی موازی با ضلع مقابل به آن رسم میکنیم. این خطوط یکدیگر را قطع می‌کنند و یک مثلث جدید تشکیل می‌شود.

در چهار ضلعی $ABCN$، داریم $AB\parallel CN$ و $AN\parallel CN$. پس $ABCN$ متوازی‌الاضلاع است و
\[AB=CN\quad(1)\]
و
\[AN=BC.\quad(2)\]
در چهارضلعی $ACBP$، می‌دانیم $AC\parallel BP$ و $AP\parallel BC$. پس چهارضلعی $ACBP$ متوازی‌الاضلاع است و
\[AP=BC\quad(3)\]
و
\[AC=BP.\quad(4)\]
در چهارضلعی $ABMC$، می‌دانیم $AC\parallel BM$ و $AB\parallel CM$. پس چهارضلعی $ABMC$ متوازی‌الاضلاع است و
\[AB=CM\quad(5)\]
و
\[AC=BM.\quad(6)\]
از $(1)$ و $(5)$ نتیجه می‌گیریم که $C$ وسط $MN$ است.
از $(2)$ و $(3)$ نتیجه می‌گیریم که $A$ وسط $NP$ است.
از $(4)$ و $63)$ نتیجه می‌گیریم که $B$ وسط $MP$ است.
طبق قضیه دو خط موازی، ارتفاع وارد بر ضلع $BC$ بر $NP$ نیز عمود است.


طبق قضیه دو خط موازی، ارتفاع وارد بر ضلع $AC$ بر $MP$ نیز عمود است.
طبق قضیه دو خط موازی، ارتفاع وارد بر ضلع $AB$ بر $MN$ نیز عمود است.
پس ارتفاع $AE$، عمود منصف ضلع $NP$ است.
پس ارتفاع $BF$، عمود منصف ضلع $MP$ است.


بنابر قضیه همرسی عمود منصف‌های اضلاع مثلث، عمود منصف‌های اضلاع مثلث $MNP$ همرس هستند.
عمودمنصف ضلع $MN$ همان ارتفاع وارد بر $AB$ از رأس $C$ است.
پس ارتفاع‌های مثلث $ABC$ همرس هستند.

همرسی عمود منصف‌های اضلاع مثلث

قضیهٔ همرسی عمودمنصف‌ها
در هر مثلث، عمودمنصف‌های اضلاع همرس هستند.

در مثلث $ABC$، عمود منصف $AB$ و $AC$ یکدیگر را در $M$ قطع می‌کنند.


از $M$ به رأس‌های مثلث وصل می‌کنیم.


\[AM=BM.\quad(1)\]
چرا؟


همچنین
\[AM=CM.\quad(2)\]
چرا؟

از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) نتیجه می‌شود: \[BM=CM.\quad(3)\]
با استفاده از عکس قضیهٔ عمودمنصف ، نقطهٔ $M$ روی عمودمنصف ضلع $BC$ قرار دارد.


نتیجهٔ قضیهٔ همرسی عمودمنصف‌ها. اگر به مرکز محل برخورد عمودمنصف‌ها و شعاع فاصلهٔ آن تا رأس مثلث یک دایره رسم کنیم، رأس‌های مثلث روی یک دایره قرار می‌گیرند. به این دایره، دایره محیطی مثلث می‌گویند.

همرسی نیم‌سازهای خارجی

قضیهٔ همرسی نیم‌سازهای خارجی
در هر مثلث، نیم‌ساز در زاویه‌ خارجی و نیم‌ساز راویه داخلی سوم همرسند.

در مثلث $ABC$، نیم‌ساز زاویه‌های خارجی $A$ و $B$ یکدیگر را در نقطهٔ $D$ قطع می‌کنند.

از $D$ بر اضلاع مثلث عمود می‌کنیم.

\[DE=DF.\quad(1)\]
چرا؟


همچنین
\[DF=DH.\quad(2)\]
چرا؟

از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) نتیجه می‌شود: \[DE=DH.\quad(3)\]
با استفاده از عکس قضیهٔ نیم‌ساز، نقطهٔ $D$ روی نیم‌ساز زاویهٔ $C$ قرار دارد.


نتیجهٔ قضیهٔ همرسی نیم‌سازهای خارجی. اگر به مرکز محل برخورد نیم‌سازهای دو زاویه خارجی و شعاع فاصلهٔ آن تا ضلع مثلث یک دایره رسم کنیم، یک ضلع مثلث و امتداد دو ضلع‌ دیگر بر دایره مماس می‌شوند. به این دایره، دایره محاطی خارجی مثلث می‌گویند.

هر مثلث سه دایره محاطی خارجی دارد.