قضیهٔ سوم تشابه

قضیهٔ سوم تشابه
اگر سه ضلع مثلثی با سه ضلع از مثلث دیگری متناسب باشند، دو مثلث متشابه هستند.

فرض. در دو مثلث \(ABC\) و $MNP$ داریم: $\frac{MN}{AB}=\frac{MP}{AC}=\frac{NP}{BC}$ .
حکم. $\bigtriangleup MNP\sim \bigtriangleup ABC$.


اثبات قضیهٔ سوم تشابه.

روی ضلع $AB$ به اندازهٔ $MN$ جدا می کنیم، $AD=MN$.
از $D$ خطی موازی با $BC$ رسم می‌کنیم تا ضلع $AC$ را در $E$ قطع کند.

با استفاده از قضیهٔ اساسی تشابه،
$$\bigtriangleup ADE\sim \bigtriangleup ABC,\quad(1)$$
و در نتیجه
\[\begin{aligned}\left.\begin{aligned}\frac{AD}{AB}&=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}\\\frac{MN}{AB}&=\frac{MP}{AC}=\frac{NP}{BC}\\AD&=MN\end{aligned}\right\}&\Rightarrow \begin{aligned}AE&=MP\\DE&=NP.\end{aligned}\end{aligned}\]
دو مثلث $ADE$ و $MNP$ به حالت سه ضلع هم‌نهشت هستند. چرا؟


در نتیجه:
$$\bigtriangleup MNP\sim \bigtriangleup ABC.$$

قضیهٔ دوم تشابه

قضیهٔ دوم تشابه
اگر یک زاویه از مثلثی با یک زاویه از مثلث دیگر برابر باشد و ضلع‌های این دو زاویه متناسب باشند، دو مثلث متشابه هستند.

فرض. در دو مثلث $ABC$ و $MNP$ داریم: $\widehat{A}=\widehat{M}$ و $\frac{MN}{AB}=\frac{MP}{AC}$.
حکم. $\bigtriangleup MNP\sim \bigtriangleup ABC$.


اثبات قضیهٔ دوم تشابه.

روی ضلع $AB$ به اندازهٔ $MN$ و روی ضلع $AC$ به اندازه $MP$ جدا می کنیم، $MN=AD$ و $MP=AE$.

در نتیجه
$$\bigtriangleup MNP\cong \bigtriangleup ADE.\quad(1)$$
چرا؟


شکل
با جایگذاری ضلع‌های مثلث $ADE$ در فرض داریم:
$$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}.$$
بنابر عکس قضیهٔ تالس،
$$DE\parallel BC.$$
با استفاده از قضیهٔ اساسی تشابه،
$$\bigtriangleup ADE\sim \bigtriangleup ABC.\quad(2)$$
از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) نتیجه می‌شود:
$$\bigtriangleup MNP\sim \bigtriangleup ABC.$$

قضیهٔ اول تشابه

قضیهٔ اول تشابه
اگر دو زاویه از مثلثی با دو زاویه از مثلث دیگری برابر باشند، دو مثلث متشابه هستند.

فرض. در دو مثلث $ABC$ و $MNP$ داریم: $\widehat{A}=\widehat{M}$ و $\widehat{B}=\widehat{N}$.
حکم. $\bigtriangleup MNP\sim \bigtriangleup ABC$.


اثبات قضیهٔ اول تشابه.

روی ضلع $AB$ به اندازهٔ $MN$ جدا می کنیم، $AD=MN$.
از $D$ خطی موازی با $BC$ رسم می‌کنیم تا ضلع $AC$ را در $E$ قطع کند.

با استفاده از قضیهٔ اساسی تشابه،
\[\bigtriangleup ADE\sim \bigtriangleup ABC.\quad(1)\]
از طرف دیگر
$$A\widehat{D}E=\widehat{N}.$$
چرا؟


در نتیجه
$$\bigtriangleup MNP\cong \bigtriangleup ADE.\quad(2)$$
چرا؟

از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) نتیجه می‌شود:
$$\bigtriangleup MNP\sim \bigtriangleup ABC.$$

قضیهٔ اساسی تشابه

قضیهٔ اساسی تشابه
در یک مثلث،اگر خطی موازی با یک ضلع، دو ضلع دیگر یا امتداد آن‌ها را قطع کند مثلثی تشکیل می‌شود که با مثلث اولیه متشابه است

فرض. $MN\parallel BC$.
حکم. $\bigtriangleup AMN\sim \bigtriangleup ABC$.


اثبات قضیهٔ اساسی تشابه.

با استفاده از قضیهٔ خطوط دو خط موازی می دانیم: $\widehat{B}=\widehat{M}$ و $\widehat{C}=\widehat{N}$.
با استفاده از تعمیم تالس می دانیم:
$$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}.$$
زاویه‌های دو مثلث $AMN$ و $ABC$ برابر و ضلع‌های نظیر آن‌ها متناسب است. پس بنابر تعریف تشابه
$$\bigtriangleup AMN\sim \bigtriangleup ABC.$$

تعمیم تالس

فرض. $DE\parallel BC$.
حکم. $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$.


اثبات تعمیم قضیهٔ تالس.

از $E$ خطی موازی با $AB$ رسم می‌کنیم تا $BC$ را در $F$ قطع کند.

چهارضلعی $BDEF$ متوازی الاضلاع است، پس
\[BF=DE.\quad(1)\]
با استفاده از قضیهٔ تالس روابط زیر برقرار است
\[DE\parallel BC\Rightarrow \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}.\quad(2)\]
\[EF\parallel AB\Rightarrow \frac{AE}{AC}=\frac{BF}{BC}.\quad(3)\]
از رابطه‌های \((1)\)، \((2)\)، و \((3)\) نتیجه می‌شود:
$$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}.$$

عکس قضیهٔ تالس

عکس قضیهٔ تالس
اگر خطی دو ضلع مثلثی را قطع کند و روی آنها پاره‌خط‌های متناظر متناسب ایجاد کند، آنگاه با ضلع سوم مثلث موازی است.

فرض. $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$.
حکم. $MN\parallel BC$.


اثبات عکس قضیهٔ تالس.

با روش برهان غیر مستقیم فرض کنیم حکم نادرست باشد، پس $MN\nparallel BC$.
از $M$ خطی موازی با $BC$ رسم می‌کنیم تا $AC$ را در $P$ قطع کند.

با استفاده از قضیهٔ تالس داریم
\[\frac{AM}{AB}=\frac{AP}{AC}.\quad(1)\]
ار مقایسه عبارت بالا با فرض نتیجه می‌گیریم
\[\frac{AP}{AC}=\frac{AN}{AC} \Rightarrow AN=AP.\]
چون $A$، $N$، و $P$ روی یک خط هستند و $N$ و $P$ هر دو در یک طرف $A$ قرار دارند، نتیجه می‌گیریم که $N$ بر $P$ منطبق است و
$$MN\parallel BC.$$

قضیهٔ تالس

قضیهٔ تالس
اگر در یک مثلث، خطی موازی یک ضلع دو ضلع دیگر را قطع کند، روی آن دو ضلع پاره‌خط‌های متناسب ایجاد می‌کند.

فرض. $DE\parallel BC$.
حکم. $\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}$.


اثبات قضیهٔ تالس.


$EF$ ارتفاع مشترک دو مثلث $ADE$ و $BDE$ است. پس
\[\frac{S_{ADE}}{S_{BDE}}=\frac{AD}{BD}.\quad(1)\]

$DH$ ارتفاع مشترک دو مثلث $ADE$ و $CDE$ است. پس
\[\frac{S_{ADE}}{S_{CDE}}=\frac{AE}{CE}.\quad(2)\]

می‌دانیم $DE\parallel BC$ پس $BM=CN$. دو مثلث $BDE$ و $CDE$ قاعده یکسان و ارتفاع‌های برابر دارند، پس
\[{S_{BDE}}=S_{CDE}.\quad(3)\]
از رابطه‌های \((1)\)، \((2)\)، و \((3)\) نتیجه می‌شود:
$$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}.$$
با استفاده ار خواص تناسب رابطه‌های زیر نیز برقرار است.
$$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC},$$
$$\frac{BD}{AB}=\frac{CE}{AC}.$$

قضیهٔ میانه-مساحت و عکس آن

قضیهٔ میانه-مساحت. میانهٔ مثلث، آن را به دو مثلث هم‌مساحت تقسیم می‌کند.

اثبات. در مثلث \(ABC\)، میانهٔ \(AM\) و ارتفاع \(AH\) را رسم می‌کنیم.

چون \(AM\) میانه است، پس \(BM=CM\). بنابراین، داریم:
\[\begin{aligned}S_{ABM}&=\frac{1}{2}AH\times BM\\[7pt]&=\frac{1}{2}AH\times CM\\[7pt]&=S_{ACM}.\end{aligned}\]
یعنی \(AM\) مثلث \(ABC\) را به دو مثلث هم‌مساحت \(ABM\) و \(ACM\) تقسیم کرده است.


عکس قضیهٔ میانه-مساحت. پاره‌خطی که یک مثلث را به دو مثلث هم‌مساحت تقسیم کند، میانهٔ آن مثلث است.

اثبات. فرض کنید \(AD\) مثلث \(ABC\) را به دو مثلث هم‌مساحت \(ABD\) و \(ACD\) تقسیم کرده باشد.

اگر \(AH\) ارتفاع مثلث \(ABC\) باشد، آن‌وقت داریم: \[\begin{aligned}&S_{ABD}=S_{ACD}\\[7pt]&\Rightarrow\frac{1}{2}AH\times BD=\frac{1}{2}AH\times CD\\[7pt]&\Rightarrow BD=CD.\end{aligned}\]
یعنی \(AD\) میانهٔ مثلث \(ABC\) است.

قضیهٔ نسبت در میانه‌های مثلث

قضیهٔ نسبت در میانه‌ های مثلث. در هر مثلث، میانه‌ها به نسبت \(2\) به \(1\) یکدیگر را قطع می‌کنند.

اثبات. در مثلث \(ABC\) سه میانهٔ \(AM\)، \(BN\)، و \(CK\) را رسم می‌کنیم.

همرسی میانه ها

بنابه نتیجهٔ قضیهٔ همرسی میانه‌ها، شش مثلث ایجاد شده در شکل بالا هم‌مساحت‌اند. پس: \[\frac{S_{ACG}}{S_{CGM}}=\frac{2}{1}\cdot\quad(1)\] از \(C\) خطی بر \(AM\) عمود می‌کنیم و پای عمود را \(H\) می‌نامیم.

نسبت در میانه‌ های مثلث

چون \(CH\) ارتفاع مثلث‌های \(ACG\) و \(CGM\) است، پس داریم: \[\begin{aligned}\frac{S_{ACG}}{S_{CGM}}&=\frac{\frac{1}{2}CH\times AG}{\frac{1}{2}CH\times CM}\\[9pt]&=\frac{AG}{GM}.\quad(2)\end{aligned}\]
حال، از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) نتیجه می‌شود:\[\frac{AG}{GM}=\frac{2}{1}\cdot\] پس میانه‌ها یکدیگر را به نسبت \(2\) به \(1\) قطع می‌کنند.

قضیهٔ همرسی میانه‌ها

قضیه همرسی میانه ها. در هر مثلث، هر سه میانه همرسند.


اثبات. فرض کنید در مثلث \(ABC\)، دو میانهٔ \(AM\) و \(BN\) یکدیگر را در نقطهٔ \(G\) قطع کرده باشند. پاره‌خط \(CG\) را رسم ‌می‌کنیم و آن را از طرف \(G\) امتداد می‌دهیم تا ضلع \(AB\) را در نقطهٔ \(K\) قطع کند. اگر نشان دهیم که \(K\) وسط \(AB\) است، آن‌وقت ثابت کرده‌ایم که سه میانهٔ \(AM\)، \(BN\)، و \(CK\) در نقطهٔ \(G\) همرسند.

همرسی میانه ها

با استفاده از قضیهٔ میانه-مساحت، می‌توان ثابت کرد: \[S_{ABG}=S_{ACG}.\quad(1)\] (چگونه؟)

با استفاده از قضیهٔ میانه-مساحت، می‌توان ثابت کرد: \[S_{ABG}=S_{BCG}.\quad(2)\] (چگونه؟)

از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) نتیجه می‌شود: \[S_{ACG}=S_{BCG}.\quad(3)\]
حال،‌ از نقطهٔ \(A\) و \(B\) عمود‌هایی بر \(CK\) رسم می‌کنیم و پای این عمودها را به‌ترتیب \(E\) و \(F\) می‌نامیم.

همرسی میانه ها

از رابطهٔ \((3)\) نتیجه می‌شود: \[AE=BF.\quad(4)\] (چرا؟)

از رابطهٔ \((4)\) نتیجه می‌شود که دو مثلث \(AGK\) و \(BGK\) هم‌مساحت هستند. (چرا؟)

چون \(GK\) مثلث \(ABG\) را به دو مثلث هم‌مساحت تقسیم کرده است، پس بنابه عکس قضیهٔ میانه-مساحت، داریم: \[AK=BK.\] یعنی \(CK\) میانهٔ وارد بر ضلع \(AB\) است. و در نتیجه، قضیه همرسی میانه ها ثابت شد.


پرسش. در شکل بالا، \(AE\) داخل مثلث و \(BF\) خارج مثلث است. از ارتفاع‌های \(AE\) و \(BF\)، همواره یکی باید داخل مثلث باشد و دیگر خارج از مثلث. چرا؟


نتیجهٔ قضیهٔ همرسی میانه‌ها. از برخورد میانه‌های مثلث، شش مثلث هم‌مساحت ایجاد می‌شود.

اثبات. در شکل زیر، \(S_{BGM}=S_{CGM}\) ،\(S_{CGN}=S_{AGN}\)، و \(S_{AGK}=S_{BGK}\).

همرسی میانه ها

(چرا؟)

برای سادگی، قرار می‌دهیم:
\[\begin{aligned}S_{BGM}&=S_{CGM}=S_1\\S_{CGN}&=S_{AGN}=S_2\\S_{AGK}&=S_{BGK}=S_3.\end{aligned}\]

همرسی میانه ها

همان‌طور که در رابطهٔ \((1)\) دیدید (در اثبات قضیهٔ همرسی میانه‌ها)، \(S_{ABG}=S_{ACG}\). بنابراین:
\[\begin{aligned}&S_{ABG}=S_{ACG}\\&\Rightarrow S_3+S_3=S_2+S_2\\&\Rightarrow S_3=S_2.\quad{\rm (I)}\end{aligned}\]
همچنین، با استفاده از رابطهٔ \((2)\) داریم:
\[\begin{aligned}&S_{ABG}=S_{BCG}\\&\Rightarrow S_3+S_3=S_1+S_1\\&\Rightarrow S_3=S_1.\quad{\rm (II)}\end{aligned}\]
حال از رابطه‌های \({\rm (I)}\) و \({\rm (II)}\) نتیجه می‌شود:
\[S_1=S_2=S_3.\]