قضیهٔ عمودمنصف و عکس آن

قضیهٔ عمودمنصّف. هر نقطه روی عمودمنصّفِ یک پاره‌خط از دو سر آن پاره‌خط فاصلهٔ یکسان دارد.

عکس قضیهٔ عمودمنصّف. اگر نقطه‌ای از دو سر یک پاره‌خط فاصلهٔ یکسان داشته باشد، این نقطه روی عمودمنصّف پاره‌خط قرار دارد.


فرض. نقطه‌ای مانند \(M\) روی عمودمنصف پاره‌خطی، مانند \(AB\)، قرار دارد.
حکم. \(MA=MB\).


اثبات قضیهٔ عمود منصف. فرض کنیم خط $d$ عمودمنصف پاره‌خط $AB$ باشد و آن را در نقطهٔ $H$ قطع کرده باشد. نقطهٔ دلخواه $M$ را روی خط $d$ انتخاب می‌کنیم.

دو مثلث $AMH$ و $BMH$ در حالت ض‌زض هم‌نهشت‌اند.(چرا؟)


اکنون، از همنهشتی دو مثلث \(AMH\) و \(BMH\) نتیجه می‌شود که $AM=BM$.


اثبات عکس قضیهٔ عمودمنصف. فرض کنیم فاصلهٔ نقطهٔ $M$ از دو سر پاره‌خط $AB$ یکسان باشد؛ یعنی $AM=BM$.

 

می‌خواهیم ثابت کنیم که نقطهٔ \(M\) روی عمودمنصف \(AB\) قرار دارد.
میانهٔ $MN$ از مثلث $AMB$ را رسم می‌کنیم. پس \(AN=BN\). حال کافی است ثابت کنیم که \(MN\) بر \(AB\) عمود است.

دو مثلث $AMN$ و $BMN$ در حالت ض‌ض‌ض هم‌نهشت‌اند. (چرا؟)


از همنهشتی دو مثلث \(AMN\) و \(BMN\) نتیجه می‌شود: \[A\widehat{N}M=B\widehat{N}M=90^\circ.\] پس \(MN\) هم \(AB\) را نصف می‌کند و هم بر آن عمود است. بنابراین، نقطهٔ \(M\) روی عمودمنصف \(AB\) قرار دارد.

 

آزمون هندسه دهم

باید به‌موقع می‌آمدید! آزمون غیرفعال شده است.

آزمون پایان‌ترم هندسه دهم

آزمون پایان ترم هندسه دهم در ساعت ۸ صبح روز ۱۷ خرداد در همین صفحه فعال می‌شود.

سعی کنید بدون تأخیر در آزمون شرکت کنید.

مدت زمان آزمون ۸۰ دقیقه است.

برای اینکه نمره شما ثبت شود در پایان آزمون روی « مشاهده نتیجه» کلیک کنید.

با‌ آرزوی موفقیت

 

باید به‌موقع می‌آمدید! آزمون غیرفعال شده است.

test

0

test

asfasdf

شما نیاز به افزودن پرسش‌ها دارید

امتیاز شما

حجم مخروط ناقص

ذوزنقه قائم‌الزاویه زیر را در نظر بگیرید.


از دوران ذوزنقه قائم‌الزاویه حول ساق قائم یک مخروط ناقص تشکیل می‌شود. حجم این مخروط ناقص بر حسب قاعده‌ها و ارتفاع ذوزنقه چقدر است؟

امتداد ساق‌های ذوزنقه یکدیگر را در نقطه $E$ قطع میکنند.

دو مثلث قائم‌الزاویه تشکیل می‌شود. از دوران دو مثلث $ABE$ و $CDE$ حول $AE$ دو مخروط تشکیل می‌شود، حجم این دو مخروط را با $V_1$ و $V_2$ نشان می‌دهیم. حجم مخروط ناقص از رابطه زیر به‌دست می‌آید.

\[V=V_1-V_2.\]

برای محاسبه $V_1$ و $V_2$ باید طول $DE$ و $AE$ را حساب کنیم.
ادعا می‌کنیم:
\[DE=\dfrac{ha}{b-a}\]و
\[AE=\dfrac{hb}{b-a}\]

چرا؟


پس
\[\begin{aligned}V_1&=\frac{\pi }{3} AE\times (AB)^2\\[7pt]&=\frac{\pi}{3} \times\frac{hb}{b-a}\times b^2\\[7pt]&=\dfrac{\pi hb^3}{3(b-a)}\end{aligned}\]
و
\[\begin{aligned}V_2&=\frac{\pi}{3}DE\times(CD)^2\\[7pt]&=\frac{\pi}{3}\times\frac{ha}{b-a}\times a^2\\[7pt]&=\dfrac{\pi ha^3}{3(b-a)}\cdot\end{aligned}\]

پس حجم مورد نظر برابر است با:

\[\begin{aligned}V&=V_1-V_2\\&=\frac{\pi h b^3}{3(b-a)}-\frac{\pi ha^3}{3(b-a)}\\&=\frac{\pi h}{3}\big(\frac{b^3-a^3}{b-a}\big)\\&=\frac{\pi h}{3}\times\frac{(b-a)(b^2+ab+a^2)}{b-a}\\&=\frac{\pi h}{3}(b^2+ab+a^2).\end{aligned}\]

محاسبه حجم حاصل از دوران یک متوازی‌الاضلاع حول یکی از اضلاعش

فرض کنید در متوازی‌الاضلاع $ABCD$ زاویه‌های \(A\) و \(C\) تند باشند. حجم حاصل از دوران $ABCD$ حول ضلع $AD$ چقدر است؟

از رأس‌های \(A\) و \(C\) ارتفاع‌های وارد بر \(BC\) و \(AD\) را رسم می‌کنیم.

حجم حاصل از دوران مستطیل \(AECF\) حول $AD$ برابر است با:
\[V_1=\pi AF^2 \times AE.\]
از طرفی، \(BF=DE\). چرا؟

حجم حاصل از دوران مثلث $CDE$ حول ضلع $DE$ برابر است با:
\[\begin{aligned}V_2&=\frac{\pi}{3}CE^2\times DE\\[7pt]&=\frac{\pi}{3}AF^2\times DE.\end{aligned}\]
حجم حاصل از دوران مثلث $ABF$ حول $AD$ برابر است با:
\[V_3=\frac{2\pi}{3}AF^2\times DE.\]
چرا؟

حجم حاصل از دوران متوازی‌الاضلاع $ABCD$ حول $AD$ برابر است با:
\[\begin{aligned}V&=V_1-V_2-V_3\\[7pt]&=V_1-(V_2+V_3)\\[7pt]&=\pi AF^2\times AE-\Big(\frac{\pi}{3}AF^2\times DE+\frac{2\pi}{3}AF^2\times DE\Big)\\[7pt]&=\pi\Big(AF^2\times AE-\big(\frac{1}{3}AF^2\times DE+\frac{2}{3}AF^2\times DE\big)\Big)\\[7pt]&=\pi\Big(AF^2\times AE-AF^2\times DE\Big)\\[7pt]&=\pi AF^2(AE-DE)\\[7pt]&=\pi AF^2\times AD.\end{aligned}\]

در ویدئو زیر می‌توانید شکل حاصل از دوران یک متوازی‌الاضلاع را ببینید.

مرحلهٔ بتا

تمرین ۱. در شکل زیر، برای رسم نیم‌ساز زاویهٔ \(A\)، ابتدا دایره‌ای به مرکز \(A\) و شعاع دلخواه رسم شده است تا ضلع‌های زاویهٔ‌ \(A\) را در نقاط \(B\) و \(C\) قطع کند. سپس، دایره‌ٔ دوم به مرکز \(B\) و شعاع \(BA\) رسم شده، و دایرهٔ سوم به مرکز \(C\) و شعاع \(CA\) رسم شده است. دایرهٔ دوم و سوم یکدیگر را در نقاط \(A\) و \(D\) قطع کرده‌اند. ثابت کنید که \(AD\) نیمساز زاویهٔ‌ \(BAC\) است.

در مسئلهٔ ۲ مرحلهٔ بتا باید با دو روش مسئله را حل کنیم.
روش اول: با 2L. برای پیدا کردن محل برخورد نیمسازهای مثلث، کافی است با استفاده از ابزار نیمساز، نیمساز دو زاویه از مثلث داده شده را رسم کنیم. محل برخورد این دو نیمساز، نقطهٔ مورد نظر است.
روش دوم: با 6E. این کار را با رسم چهار دایره و دو خط انجام می‌دهیم. در ادامه توضیحات مفصلی برای این راه‌حل آمده است.

مثلث داده شده را \(ABC\) می‌نامیم.

برای رسم نیمساز زاویهٔ \(A\)، ابتدا دایره‌ای به مرکز \(A\) و شعاع \(AB\) رسم می‌کنیم و محل برخورد آن با \(AC\) را \(P\) می‌نامیم.

حال دو دایره رسم می‌کنیم: دایرهٔ اول به مرکز \(B\) و شعاع \(BA\)، و دایرهٔ دوم به مرکز \(P\) و شعاع \(PA\). این دو دایره یکدیگر را در نقاط \(A\) و \(X\) قطع می‌کنند. پس با توجه به تمرین ۱، \(AX\) نیم‌ساز زاویه‌ٔ \(BAC\) است. (شکلش چه‌جوری می‌شه؟!)

اکنون می‌خواهیم نیمساز زاویهٔ \(B\) را رسم کنیم.

برای رسم نیمساز زاویهٔ \(B\)، ابتدا دایره‌ای به مرکز \(B\) و شعاع \(BA\) رسم می‌کنیم و محل برخورد آن با \(BC\) را \(Q\) می‌نامیم. (توجه کنید که این دایره را قبلاً رسم کرده‌ایم.)

حال دو دایره رسم می‌کنیم: دایرهٔ اول به مرکز \(A\) و شعاع \(AB\) (این دایره را قبلاً رسم کرده‌ایم)، و دایرهٔ دوم به مرکز \(Q\) و شعاع \(QB\). این دو دایره یکدیگر را در نقاط \(B\) و \(Y\) قطع می‌کنند. پس با توجه به تمرین ۱، \(BY\) نیم‌ساز زاویه‌ٔ \(ABC\) است. (شکلش چه‌جوری می‌شه؟!)


حال محل برخورد \(AX\) و \(BY\) نقطهٔ مورد نظر است.

تمرین ۲. در شکل بالا، چرا نیمساز زاویهٔ \(C\) از نقطهٔ نارنجی می‌گذرذ؟

مرحلهٔ آلفا

راه‌حل مسئلهٔ ۷ مرحلهٔ آلفا

تمرین ۱. در شکل زیر، دو دایره به مرکز \(A\) و \(B\) رسم شده است. شعاع دو دایره برابر است. چرا مثلث‌های \(ABC\) و \(ABD\) متساوی‌الاضلاع هستند؟

تمرین ۲. در شکل زیر، دو دایره به مرکز \(A\) و \(B\) رسم شده است. شعاع دو دایره برابر است. چرا خط \(CD\) عمودمنصف پاره‌خط \(AB\) است؟

تمرین ۳. در شکل زیر، \(ABCD\) مستطیل و \(EF\) عمودمنصف قطر \(AC\) است. چرا چهارضلعی \(AECF\) لوزی است؟

تمرین ۴. عمودمنصف‌های دو وتر غیر موازی از یک دایره، یکدیگر را در نقطهٔ \(C\) قطع کرده‌اند. چرا \(C\) مرکز دایره است؟

تمرین ۵. در شکل زیر، دو دایره به مرکز \(A\) و \(B\) رسم شده است. شعاع این دو دایره یکسان هستند. پاره‌خط \(EF\) قطر مشترک دو دایره است. چرا اگر دایره‌ای به مرکز \(C\) و شعاع \(CD\) رسم کنیم، از نقاط \(E\) و \(F\) می‌گذرد؟