مرور میانترم

37

مرور میانترم

1 / 41

در ذوزنقه $ABCD$ قطرها یکدیگر را در $O$ قطع کرده‌اند و همچنین $AD\parallel BC$. اگر $\dfrac{OD}{OB}=\dfrac{1}{3}$ و $S_{COD}=6$ باشد، مساحت $ABC$ چقدر است؟

2 / 41

اندازه دو ضلع قائم از یک مثلث قائم‌الزاویه $2$ و $6$ است. عمودمنصف وتر امتداد ضلع کوچکتر را در $M$ قطع می‌کند. فاصله $M$ از نزدیکترین رأس مثلث چقدر است؟

3 / 41

مثلثی با اضلاع $a$ و $b$ و $3$ با مثلثی با اضلاع $3$ و $4$ و $5$ متشابه است. دو مثلث هم‌نهشت نیستند. بیشترین محیط برای مثلث اول چقدر است؟

4 / 41

در مستطیل $ABCD$ نقطهٔ $F$ روی ضلع $CD$ چنان قرار دارد که $AF$ بر $BD$ عمود است. اگر $AB=3AD$ باشد، $CD$ چند برابر $DF$ است؟

5 / 41

کدام دو شکل همواره متشابه هستند؟

6 / 41

در یک مثلث قائم‌الزاویه، از وسط وتر عمودی بر ضلع قائم فرود می‌آوریم تا مثلث جدید تشکیل شود. مساحت مثلث اصلی چند برابر مساحت مثلث جدید است؟

7 / 41

در ذوزنقه $ABCD$، $AB\parallel CD$. نقاط $M$ و $N$ به ترتیب وسط اضلاع $AD$ و $AB$ قرار دارند. اگر $\frac{AB}{CD}=\frac{2}{3}$باشد، نسبت مساحت چهارضلعی $MNBD$ به مساحت ذوزنقهٔ $ABCD$کدام است؟

8 / 41

در مثلث $ABC$، $AB=AC$. نقطه $P$ روی ضلع $AB$ طوری قرار دارد که $AB=3BP$. از $P$ عمودی بر $BC$ رسم می‌کنیم تا $BC$ را در $K$ قطع کند. مساحت مثلث $ABC$ چند برابر مساحت مثلث $BPK$ است؟

9 / 41

در مثلث $ABC$، وسط دو ضلع را به‌هم وصل کرده‌ایم تا به یک مثلث و یک چهارضلعی تجزیه شود، نسبت مساحت چهارضلعی به مساحت مثلث ایجاد شده چقدر است؟

10 / 41

در مثلث $ABC$، $\widehat{A} =90^\circ $و $AH$ ارتفاع است. اگر $AC=2AB$ باشد، مساحت مثلث $ABC$ چند برابر مساحت $ABH$ است؟

11 / 41

نسبت مساحت‌های دو پنج‌ضلعی منتظم $\frac{4}{9}$ است. اگر ضلع یکی از آن‌ها $6$ باشد، اندازه ضلع دیگری کدام است؟

12 / 41

نقاط $M$ و $N$ روی اضلاع مثلث $ABC$ چنان انتخاب شدند که $MN\parallel BC$. اگر مساحت ذوزنقه $MNCB$ هشت برابر مساحت مثلث $AMN$ باشد، $\frac{MB}{AM}$ چقدر است؟

13 / 41

طول اضلاع یک مثلث $10$ و $11$ و $15$ واحد است و طول بلندترین ضلع مثلثی متشابه آن، $10$ واحد است. محیط مثلث دوم چقدر است؟

14 / 41

در ذوزنقه $ABCD$، $AB\parallel CD$. اگر $AB=AD=4$ و $BC=BD=6$ باشد، $CD$ چقدر است؟

15 / 41

نقطه $D$ روی ضلع $BC$ از مثلث $ABC$ چنان قرار دارد که $\widehat{B}=C\widehat{A}D$. اگر $AC=4$ و
$BD=6$، طول $BC$ را حساب کنید.

16 / 41

در مثلث $ABC$، $\widehat{A} =90^\circ $ و $AH$ ارتفاع است. اگر $CH=4$ و $AB=3\sqrt{13} $ باشد، $AH$ چقدر است؟

17 / 41

در مثلث $ABC$، $\widehat{A} =90^\circ $ و $AH$ ارتفاع است. اگر $CH=4$ و $AB=3\sqrt{13} $ باشد، $AC$ کدام است؟

18 / 41

در شکل زیر، $BE\parallel CF$ و $CE\parallel DF$. اگر $AB=4$ و $BC=6$ باشد، $AD$ چقدر است؟

19 / 41

در متوازی‌الاضلاع $ABCD$، نقطهٔ $N$ را روی ضلع $BC$ انتخاب می‌کنیم. $AN$ قطر $BD$ را در $M$ و امتداد ضلع $CD$ را در $P$ قطع می‌کند. $MP\times MN$ برابر است با:

20 / 41

در شکل زیر، $BE\parallel CF$ و $CE\parallel DF$. اگر $CD=7$ و $BC=3$ باشد، $AD$ چقدر است؟

21 / 41

در یک ذورنقه متساوی‌الساقین، طول قاعده‌ها $9$ و $15$ و طول ساق $5$ واحد است. فاصله نقطه تلاقی دو ساق ذوزنقه از قاعده کوچکتر چقدر است؟

22 / 41

در شکل زیر، $BE\parallel CF$ و $CE\parallel DF$. اگر $AB=5$ و $BC=3$ باشد، $CD$ چقدر است؟

23 / 41

در مثلث $ABC$ ، نقاط $D$ و $E$ به ترتیب روی $AB$ و $AC$ قرار دارند به‌طوریکه
$DE\parallel BC$ و $\frac{AD}{BD}=\frac{4}{5}$. مساحت مثلث $BCE$ چند برابر مساحت مثلث $BDE$ است؟

24 / 41

در مثلث $ABC$، $\widehat{A}=90^\circ$ و $5AB=3AC=60$. $AD$ نمیساز زاویه $A$ و از $D$ خطی موازی با $AB$ رسم می‌کنیم تا $AC$ را در $E$ قطع کند.$EC$ چقدر است؟

25 / 41

واسطه هندسی بین دو پاره خط $6$ و $24$ واحدی، چقدر است؟

26 / 41

اگر $b$ واسطه هندسی بین $9$ و $a$ باشد و $6$ واسطه هندسی بین $8$ و $b$ باشد، آنگاه $2a+b$ چقدر است؟

27 / 41

در ذوزنقه $ABCD$ قطرها یکدیگر را در $O$ قطع کرده‌اند و همچنین $AD\parallel BC$. اگر $\dfrac{OD}{OB}=\dfrac{1}{3}$ و $S_{COD}=6$ باشد، مساحت $BCD$ چقدر است؟

28 / 41

دو قطر یک ذوزنقه قائم‌الزاویه برهم عمودند. اگر طول قاعده‌های این ذوزنقه $4$ و $9$ باشد، مساحت ذوزنقه چقدر است؟

29 / 41

در مثلث $ABC$، نقطه $D$ روی ضلع $AB$ و نقطه $E$ روی ضلع $BC$ قرار دارد به‌طوری‌که $‎\dfrac{BD}{DA}=‎\dfrac{1}{2}‎‎$ و $‎\dfrac{CE}{EB}=‎\dfrac{1}{4}‎‎$. پاره‌خط‌های $CD$ و $AE$ یکدیگر را در $F$ قطع می‌کنند. نسبت $‎\dfrac{CF}{FD}‎$ چقدر است؟

30 / 41

در مثلث $ABC$، $\widehat{A} =90^\circ $ و $AH$ ارتفاع است. اگر $BH=9$ و $AC=2\sqrt{13} $ باشد، $AB$ کدام است؟

31 / 41

در مثلث $ABC$، $\widehat{A} =90^\circ $ و $AH$ ارتفاع است. اگر $BH=9$ و $AC=2\sqrt{13} $ باشد، $AH$ را حساب کنید.

32 / 41

در مثلث $ABC$، زاویه $A$ دو برابر زاویه $C$ و طول $BC$ دو واحد بیشتر از طول $AB$ است و $AC=5$. طول $BC$ را حساب کنید.

33 / 41

در مثلث $ABC$، زاویه $A$ دو برابر زاویه $C$ و طول $BC$ دو واحد بیشتر از طول $AB$ است و $AC=5$. طول $AB$ را حساب کنید.

34 / 41

در مثلث $ABC$، $AB=60$، $AC=40$ و $BC=30$ است. نقاط $D$، $E$ و $F$ را به‌ترتیب بر $AB$، $BC$ و $AC$ انتخاب کرده‌ایم. اگر $ADEF$ لوزی باشد، طول $AD$ را حساب کنید.

35 / 41

در مستطیل $ABCD$، زاویهٔ بین دو قطر $60^\circ$ و عرض مستطیل برابر $1$ است. در مستطیل $MNPQ$ زاویه بین دو قطر $120^\circ$ و طول مستطیل برابر $6$ واحد است. کدام یک از عبارت‌های زیر صحیح است؟

36 / 41

اگر $\frac{a+2b}{6}=\frac{3b-c}{3}=\frac{2c-4b}{7}=\frac{1}{4}$ باشد، مقدار $a+b+c$ چقدر است؟

37 / 41

اگر $\frac{a}{1}=\frac{b}{2}=\frac{c}{3}=\frac{d}{4}=\frac{e}{5}$، آنگاه $\frac{b+c+d+e}{a}-\frac{a+b+d+e}{c}$ چقدر است؟

38 / 41

اگر $\frac{a}{5}=\frac{b}{3}=\frac{c}{10}$ باشد،آنگاه $\frac{a+c}{b}$ چقدر است؟

39 / 41

اگر $\frac{b}{3}=\frac{a}{4}=\frac{c}{5}=\frac{c+2a-3b}{x}$ باشد، $x$ چقدر است؟

40 / 41

اگر $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=\frac{3}{5}$، حاصل $x+2y+3z$ چقدر است؟

41 / 41

اگر $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{6}=\frac{7}{11}$، حاصل $x+y+z$ چقدر است؟

امتیاز شما

میانترم

137

1 / 10

در مثلث $ABC$، نقطه $D$ روی ضلع $AB$ و نقطه $E$ روی ضلع $BC$ قرار دارد به‌طوری‌که $‎\dfrac{BD}{DA}=‎\dfrac{1}{2}‎‎$ و $‎\dfrac{CE}{EB}=‎\dfrac{1}{4}‎‎$. پاره‌خط‌های $CD$ و $AE$ یکدیگر را در $F$ قطع می‌کنند. نسبت $‎\dfrac{CF}{FD}‎$ چقدر است؟

2 / 10

در مثلث $ABC$، $\widehat{A} =90^\circ $و $AH$ ارتفاع است. اگر $AC=2AB$ باشد، مساحت مثلث $ABC$ چند برابر مساحت $ABH$ است؟

3 / 10

در مستطیل $ABCD$ نقطهٔ $F$ روی ضلع $CD$ چنان قرار دارد که $AF$ بر $BD$ عمود است. اگر $AB=3AD$ باشد، $CD$ چند برابر $DF$ است؟

4 / 10

نسبت مساحت‌های دو پنج‌ضلعی منتظم $\frac{4}{9}$ است. اگر ضلع یکی از آن‌ها $6$ باشد، اندازه ضلع دیگری کدام است؟

5 / 10

نقاط $M$ و $N$ روی اضلاع مثلث $ABC$ چنان انتخاب شدند که $MN\parallel BC$. اگر مساحت ذوزنقه $MNCB$ هشت برابر مساحت مثلث $AMN$ باشد، $\frac{MB}{AM}$ چقدر است؟

6 / 10

در مثلث $ABC$، زاویه $A$ دو برابر زاویه $C$ و طول $BC$ دو واحد بیشتر از طول $AB$ است و $AC=5$. طول $BC$ را حساب کنید.

7 / 10

در مثلث $ABC$، $\widehat{A} =90^\circ $ و $AH$ ارتفاع است. اگر $BH=9$ و $AC=2\sqrt{13} $ باشد، $AH$ را حساب کنید.

8 / 10

اگر $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=\frac{3}{5}$، حاصل $x+2y+3z$ چقدر است؟

9 / 10

اگر $b$ واسطه هندسی بین $9$ و $a$ باشد و $6$ واسطه هندسی بین $8$ و $b$ باشد، آنگاه $2a+b$ چقدر است؟

10 / 10

در شکل زیر، $BE\parallel CF$ و $CE\parallel DF$. اگر $AB=5$ و $BC=3$ باشد، $CD$ چقدر است؟

امتیاز شما

قضیهٔ سوم تشابه

قضیهٔ سوم تشابه
اگر سه ضلع مثلثی با سه ضلع از مثلث دیگری متناسب باشند، دو مثلث متشابه هستند.

فرض. در دو مثلث \(ABC\) و $MNP$ داریم: $\frac{MN}{AB}=\frac{MP}{AC}=\frac{NP}{BC}$ .
حکم. $\bigtriangleup MNP\sim \bigtriangleup ABC$.


اثبات قضیهٔ سوم تشابه.

روی ضلع $AB$ به اندازهٔ $MN$ جدا می کنیم، $AD=MN$.
از $D$ خطی موازی با $BC$ رسم می‌کنیم تا ضلع $AC$ را در $E$ قطع کند.

با استفاده از قضیهٔ اساسی تشابه،
$$\bigtriangleup ADE\sim \bigtriangleup ABC,\quad(1)$$
و در نتیجه
\[\begin{aligned}\left.\begin{aligned}\frac{AD}{AB}&=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}\\\frac{MN}{AB}&=\frac{MP}{AC}=\frac{NP}{BC}\\AD&=MN\end{aligned}\right\}&\Rightarrow \begin{aligned}AE&=MP\\DE&=NP.\end{aligned}\end{aligned}\]
دو مثلث $ADE$ و $MNP$ به حالت سه ضلع هم‌نهشت هستند. چرا؟


در نتیجه:
$$\bigtriangleup MNP\sim \bigtriangleup ABC.$$

قضیهٔ دوم تشابه

قضیهٔ دوم تشابه
اگر یک زاویه از مثلثی با یک زاویه از مثلث دیگر برابر باشد و ضلع‌های این دو زاویه متناسب باشند، دو مثلث متشابه هستند.

فرض. در دو مثلث $ABC$ و $MNP$ داریم: $\widehat{A}=\widehat{M}$ و $\frac{MN}{AB}=\frac{MP}{AC}$.
حکم. $\bigtriangleup MNP\sim \bigtriangleup ABC$.


اثبات قضیهٔ دوم تشابه.

روی ضلع $AB$ به اندازهٔ $MN$ و روی ضلع $AC$ به اندازه $MP$ جدا می کنیم، $MN=AD$ و $MP=AE$.

در نتیجه
$$\bigtriangleup MNP\cong \bigtriangleup ADE.\quad(1)$$
چرا؟


شکل
با جایگذاری ضلع‌های مثلث $ADE$ در فرض داریم:
$$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}.$$
بنابر عکس قضیهٔ تالس،
$$DE\parallel BC.$$
با استفاده از قضیهٔ اساسی تشابه،
$$\bigtriangleup ADE\sim \bigtriangleup ABC.\quad(2)$$
از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) نتیجه می‌شود:
$$\bigtriangleup MNP\sim \bigtriangleup ABC.$$

قضیهٔ اول تشابه

قضیهٔ اول تشابه
اگر دو زاویه از مثلثی با دو زاویه از مثلث دیگری برابر باشند، دو مثلث متشابه هستند.

فرض. در دو مثلث $ABC$ و $MNP$ داریم: $\widehat{A}=\widehat{M}$ و $\widehat{B}=\widehat{N}$.
حکم. $\bigtriangleup MNP\sim \bigtriangleup ABC$.


اثبات قضیهٔ اول تشابه.

روی ضلع $AB$ به اندازهٔ $MN$ جدا می کنیم، $AD=MN$.
از $D$ خطی موازی با $BC$ رسم می‌کنیم تا ضلع $AC$ را در $E$ قطع کند.

با استفاده از قضیهٔ اساسی تشابه،
\[\bigtriangleup ADE\sim \bigtriangleup ABC.\quad(1)\]
از طرف دیگر
$$A\widehat{D}E=\widehat{N}.$$
چرا؟


در نتیجه
$$\bigtriangleup MNP\cong \bigtriangleup ADE.\quad(2)$$
چرا؟

از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) نتیجه می‌شود:
$$\bigtriangleup MNP\sim \bigtriangleup ABC.$$

قضیهٔ اساسی تشابه

قضیهٔ اساسی تشابه
در یک مثلث،اگر خطی موازی با یک ضلع، دو ضلع دیگر یا امتداد آن‌ها را قطع کند مثلثی تشکیل می‌شود که با مثلث اولیه متشابه است

فرض. $MN\parallel BC$.
حکم. $\bigtriangleup AMN\sim \bigtriangleup ABC$.


اثبات قضیهٔ اساسی تشابه.

با استفاده از قضیهٔ خطوط دو خط موازی می دانیم: $\widehat{B}=\widehat{M}$ و $\widehat{C}=\widehat{N}$.
با استفاده از تعمیم تالس می دانیم:
$$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}.$$
زاویه‌های دو مثلث $AMN$ و $ABC$ برابر و ضلع‌های نظیر آن‌ها متناسب است. پس بنابر تعریف تشابه
$$\bigtriangleup AMN\sim \bigtriangleup ABC.$$

تعمیم تالس

فرض. $DE\parallel BC$.
حکم. $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$.


اثبات تعمیم قضیهٔ تالس.

از $E$ خطی موازی با $AB$ رسم می‌کنیم تا $BC$ را در $F$ قطع کند.

چهارضلعی $BDEF$ متوازی الاضلاع است، پس
\[BF=DE.\quad(1)\]
با استفاده از قضیهٔ تالس روابط زیر برقرار است
\[DE\parallel BC\Rightarrow \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}.\quad(2)\]
\[EF\parallel AB\Rightarrow \frac{AE}{AC}=\frac{BF}{BC}.\quad(3)\]
از رابطه‌های \((1)\)، \((2)\)، و \((3)\) نتیجه می‌شود:
$$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}.$$

عکس قضیهٔ تالس

عکس قضیهٔ تالس
اگر خطی دو ضلع مثلثی را قطع کند و روی آنها پاره‌خط‌های متناظر متناسب ایجاد کند، آنگاه با ضلع سوم مثلث موازی است.

فرض. $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$.
حکم. $MN\parallel BC$.


اثبات عکس قضیهٔ تالس.

با روش برهان غیر مستقیم فرض کنیم حکم نادرست باشد، پس $MN\nparallel BC$.
از $M$ خطی موازی با $BC$ رسم می‌کنیم تا $AC$ را در $P$ قطع کند.

با استفاده از قضیهٔ تالس داریم
\[\frac{AM}{AB}=\frac{AP}{AC}.\quad(1)\]
ار مقایسه عبارت بالا با فرض نتیجه می‌گیریم
\[\frac{AP}{AC}=\frac{AN}{AC} \Rightarrow AN=AP.\]
چون $A$، $N$، و $P$ روی یک خط هستند و $N$ و $P$ هر دو در یک طرف $A$ قرار دارند، نتیجه می‌گیریم که $N$ بر $P$ منطبق است و
$$MN\parallel BC.$$

قضیهٔ تالس

قضیهٔ تالس
اگر در یک مثلث، خطی موازی یک ضلع دو ضلع دیگر را قطع کند، روی آن دو ضلع پاره‌خط‌های متناسب ایجاد می‌کند.

فرض. $DE\parallel BC$.
حکم. $\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}$.


اثبات قضیهٔ تالس.


$EF$ ارتفاع مشترک دو مثلث $ADE$ و $BDE$ است. پس
\[\frac{S_{ADE}}{S_{BDE}}=\frac{AD}{BD}.\quad(1)\]

$DH$ ارتفاع مشترک دو مثلث $ADE$ و $CDE$ است. پس
\[\frac{S_{ADE}}{S_{CDE}}=\frac{AE}{CE}.\quad(2)\]

می‌دانیم $DE\parallel BC$ پس $BM=CN$. دو مثلث $BDE$ و $CDE$ قاعده یکسان و ارتفاع‌های برابر دارند، پس
\[{S_{BDE}}=S_{CDE}.\quad(3)\]
از رابطه‌های \((1)\)، \((2)\)، و \((3)\) نتیجه می‌شود:
$$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}.$$
با استفاده ار خواص تناسب رابطه‌های زیر نیز برقرار است.
$$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC},$$
$$\frac{BD}{AB}=\frac{CE}{AC}.$$

مرور امتحان مهرماه

27

مرور امتحان مهر

1 / 28

کدام‌یک از قضایای زیر دو شرطی نیست؟

2 / 28

نقیض گزارۀ «مجموع زوایای داخلی هر مثلث $180$ درجه می‌باشد.» کدام است؟

3 / 28

نقیض گزارۀ «مجموع زوایای داخلی هر چهارضلعی محدب برابر $^\circ 360$ است.» کدام است؟

4 / 28

در چهارضلعی محدب $ABCD$، $AB$ بزرگ‌ترین ضلع و $CD$ کوچک‌ترین ضلع است. کدام‌یک از نامساوی‌های زیر در این چهارضلعی همواره صحیح است؟

5 / 28

از هر رأس مثلث مختلف‌الاضلاع$ABC$، خطی به موازات ضلع مقابلش رسم می‌کنیم تا مثلث دیگری به وجود آید. کدام یک از اجزاء دو مثلث بر هم منطبق‌اند؟

6 / 28

دو دایره یکدیگر را در نقطه‌های \(A\) و \(B\) قطع کرده‌اند. اگر \(AC\) قطری از دایرهٔ اول و \(AD\) قطری از دایرهٔ دوم باشد، کدام گزینه صحیح است؟

7 / 28

چند نقطه در صفحه وجود دارد که فاصلۀ آن‌ها از هر کدام از دو خط متقاطع $d_1$ و $d_2$، برابر $2$ سانتی‌متر باشد؟

8 / 28

خط $d$ و نقطهٔ $A$ خارج از آن را در نظر بگیرید. به مرکز $A$ و شعاع دلخواه دایره $c$ را رسم می‌کنیم به‌طوریکه خط $d$ را در دو نقطه مانند $M$ و $N$ قطع کند. امتداد پاره‌خط $AN$ دایرهٔ $c$ را در $P$ قطع می‌کند و امتداد پاره‌خط $AM$ دایرهٔ $c$ را در $Q$ قطع می‌کند. $PQ$ و $MN$ نسبت به‌ هم چه وضعی دارند؟

9 / 28

خط $d$ و نقطهٔ $A$ خارج از آن را در نظر بگیرید. به مرکز $A$ دایرهٔ $c$ را طوری رسم می‌کنیم تا خط $d$ را در دو نقطهٔ مانند $M$ و $N$ قطع کند. خط گذرنده از $AN$ دایره $c$ را در $P$ قطع می‌کند. زاویه $PMN$ چند درجه است؟

10 / 28

در مثلث $ABC$، نقاط $D$ و $E$ را به ترتیب روی اضلاع $AB$ و $AC$ به گونه ای انتخاب می کنیم که $AD=AE$ باشد. از $D$ عمودی بر $AB$ و از $E$ عمودی بر $AC$ رسم می کنیم تا همدیگر را در نقطه ی $M$ قطع کنند. نقطه ی $M$ همواره بر کدام یک از خطوط زیر واقع است؟

11 / 28

مثلث $ABC$ را در نظر بگیرید. چند نقطه وجود دارد که از دو سر پاره‌خط $AB$ به یک فاصله بوده و همچنین از دو ضلع $AB$ و $BC$ و یا امتداد آن‌ها به یک فاصله باشند؟

12 / 28

در مثلث $ABC$، می‌دانیم $AB > AC$. کدام گزینه درست است؟

13 / 28

خط $d$ و نقطهٔ $A$ خارج از آن را در نظر بگیرید. دو نقطهٔ دلخواه $M$ و $N$ را روی $d$ انتخاب می‌کنیم. به مرکز $M$ و شعاع $AM$ دایرهٔ $c_1$ را رسم می‌کنیم. به مرکز $N$ و شعاع $AN$ دایرهٔ $c_2$ را رسم می‌کنیم. اگر دو دایرهٔ $c_1$ و $c_2$ یکدیگر را در $B$ قطع کنند، پاره‌خط $AB$ نسبت به خط $d$ چه وضعیتی دارد.

14 / 28

مثلث $ABC$ را در نظر بگیرید. اگر $M$، $N$ و $P$ وسط اضلاع مثلث $ABC$ باشند، عمودمنصف‌های اضلاع مثلث $ABC$ چه جز فرعی از مثلث $MNP$ هستند.

15 / 28

عبارت(های) صحیح را مشخص کنید.

16 / 28

مثلث $ABC$ را در نظر بگیرد. چند نقطه وجود دارد که فاصلهٔ آن از سه ضلع مثلث یا امتداد آن‌ها، یکسان باشد.

17 / 28

نقاط $A$ و $B$ به فاصلهٔ $8$ از هم قرار دارند. چند نقطه وجود دارد که فاصلهٔ اش از نقطهٔ $A$ برابر $4$ و از نقطهٔ $B$ برابر $5$ است.

18 / 28

روی نیم‌خط $Ax$، نقطهٔ دلخواه $B$ را انتخاب می‌کنیم. به مرکز $B$ و شعاع $AB$ دایره $c$ را رسم می کنیم. اگر محل برخورد عمودی که از $B$ بر نیم‌خط ‌$Ax$ خارج می‌شود دایره $c$ را در $D$ قطع کند، زاویهٔ $DAB$ چند درجه است؟

19 / 28

کدام یک از زاویه‌های زیر فقط با یک خط و رسم نیمساز قابل رسم هستند؟

20 / 28

گزینه‌های صحیح را مشخص کنید.

21 / 28

کدامیک از گزینه‌های زیر بیان کننده اصل توازی است؟

22 / 28

در مثلث $ABC$، نیمساز زاویه $A$ ضلع $BC$ را در $D$ قطع می‌کند. کدام (ها) گزینه همواره صحیح است؟

23 / 28

عبارت « نقطه همرسی عمودمنصف‌های اضلاع هر مثلث، داخل یا خارج مثلث قرار دارد.» را در نظر بگیرید. چه نوع مثلثی مثال نقض این عبارت است؟

24 / 28

دایره‌ای به مرکز $P$ و دایره‌ای به مرکز $Q$ یکدیگر را در دو نقطهٔ $X$ و $Y$ قطع کرده‌اند. اگر شعاع این دو دایره یکسان نباشد، آن‌وقت عبارت‌ (یا عبارت‌های) درست را علامت بزنید.

25 / 28

دایره‌ای به مرکز $P$ و دایره‌ای به مرکز $Q$ یکدیگر را در دو نقطهٔ $X$ و $Y$ قطع کرده‌اند. اگر شعاع این دو دایره یکسان باشد، آن‌وقت عبارت‌ (یا عبارت‌های) درست را علامت بزنید.

26 / 28

صبا نقطهٔ $A$ را روی خط $\ell$ قرار داد و به شعاعی دلخواه دایره‌ای به مرکز $A$ رسم کرد. این دایره خط $\ell$ را در نقطهٔ $B$ قطع کرد. سپس صبا به شعاع $AB$ و مرکز $B$دایرهٔ دیگری رسم کرد که دایرهٔ اول را در نقاط $M$ و $N$ قطع کرد. زاویهٔ $M\widehat{A}N$ چند درجه است؟

27 / 28

نقطه‌های $P$ و $Q$ روی خط $\ell$ مفروض‌اند. به مرکز $P$ و شعاع $PQ$ دایرهٔ $c$ را رسم کرده‌ایم؛ این دایره خط $\ell$ را در نقطهٔ $R$ قطع می‌کند. به مرکز $R$ و شعاع $RP$ دایرهٔ دیگری رسم می‌کنیم تا دایرهٔ $c$ را در نقطهٔ $T$ قطع کند. اندازهٔ زاویهٔ $RQT$ چند درجه است؟

28 / 28

در مستطیل \(ABCD\) داریم \(AB > BC\). فرض کنید عمودمنصف قطر این مستطیل، ضلع‌های \(AB\) و \(CD\) را به‌ترتیب در نقاط \(E\) و \(F\) قطع کرده باشد. اگر \(AE=5\)، آن‌وقت محیط چهارضلعی \(AECF\) چقدر است؟

امتیاز شما