قضیهٔ تالس

قضیهٔ تالس
اگر در یک مثلث، خطی موازی یک ضلع دو ضلع دیگر را قطع کند، روی آن دو ضلع پاره‌خط‌های متناسب ایجاد می‌کند.

فرض. $DE\parallel BC$.
حکم. $\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}$.


اثبات قضیهٔ تالس.


$EF$ ارتفاع مشترک دو مثلث $ADE$ و $BDE$ است. پس
\[\frac{S_{ADE}}{S_{BDE}}=\frac{AD}{BD}.\quad(1)\]

$DH$ ارتفاع مشترک دو مثلث $ADE$ و $CDE$ است. پس
\[\frac{S_{ADE}}{S_{CDE}}=\frac{AE}{CE}.\quad(2)\]

می‌دانیم $DE\parallel BC$ پس $BM=CN$. دو مثلث $BDE$ و $CDE$ قاعده یکسان و ارتفاع‌های برابر دارند، پس
\[{S_{BDE}}=S_{CDE}.\quad(3)\]
از رابطه‌های \((1)\)، \((2)\)، و \((3)\) نتیجه می‌شود:
$$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}.$$
با استفاده ار خواص تناسب رابطه‌های زیر نیز برقرار است.
$$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC},$$
$$\frac{BD}{AB}=\frac{CE}{AC}.$$

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *