حجم مخروط ناقص

ذوزنقه قائم‌الزاویه زیر را در نظر بگیرید.


از دوران ذوزنقه قائم‌الزاویه حول ساق قائم یک مخروط ناقص تشکیل می‌شود. حجم این مخروط ناقص بر حسب قاعده‌ها و ارتفاع ذوزنقه چقدر است؟

امتداد ساق‌های ذوزنقه یکدیگر را در نقطه $E$ قطع میکنند.

دو مثلث قائم‌الزاویه تشکیل می‌شود. از دوران دو مثلث $ABE$ و $CDE$ حول $AE$ دو مخروط تشکیل می‌شود، حجم این دو مخروط را با $V_1$ و $V_2$ نشان می‌دهیم. حجم مخروط ناقص از رابطه زیر به‌دست می‌آید.

\[V=V_1-V_2.\]

برای محاسبه $V_1$ و $V_2$ باید طول $DE$ و $AE$ را حساب کنیم.
ادعا می‌کنیم:
\[DE=\dfrac{ha}{b-a}\]و
\[AE=\dfrac{hb}{b-a}\]

چرا؟


پس
\[\begin{aligned}V_1&=\frac{\pi }{3} AE\times (AB)^2\\[7pt]&=\frac{\pi}{3} \times\frac{hb}{b-a}\times b^2\\[7pt]&=\dfrac{\pi hb^3}{3(b-a)}\end{aligned}\]
و
\[\begin{aligned}V_2&=\frac{\pi}{3}DE\times(CD)^2\\[7pt]&=\frac{\pi}{3}\times\frac{ha}{b-a}\times a^2\\[7pt]&=\dfrac{\pi ha^3}{3(b-a)}\cdot\end{aligned}\]

پس حجم مورد نظر برابر است با:

\[\begin{aligned}V&=V_1-V_2\\&=\frac{\pi h b^3}{3(b-a)}-\frac{\pi ha^3}{3(b-a)}\\&=\frac{\pi h}{3}\big(\frac{b^3-a^3}{b-a}\big)\\&=\frac{\pi h}{3}\times\frac{(b-a)(b^2+ab+a^2)}{b-a}\\&=\frac{\pi h}{3}(b^2+ab+a^2).\end{aligned}\]

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *