با مفاهیم نقطه، خط، و صفحه از قبل آشنا هستید. توجه کنید که خط و صفحه نامحدود هستند. همانطور که می‌دانید هندسه مسطحه با پنج اصل ساخته می‌شود. اصل اول اقلیدس این است: از هر دو نقطه متمایز فقط یک خط می‌گذرد.آیا این اصل در فضا نیز برقرار است؟

 

همچنین می دانید اگر دو نقطه متفاوت از یک خط را داشته باشیم، خط به طور یکتا مشخص می‌شود. چه وقت یک صفحه به‌طور یکتا مشخص می‌شود؟

 

هر یک از جملات زیر یک صفحه را مشخص می‌کنند.

الف) از یک خط و یک نقطه خارج از آن فقط یک صفحه می‌گذرد. (؟)

ب) از دو خط متقاطع فقط یک صفحه می‌گذرد. (؟)

ج) از دو خط موازی فقط یک صفحه می‌گذرد. (؟)

 

 

وضعیت دو خط متفاوت نسبت به‌هم در صفحه

۱) متقاطع: اگر در یک نقطه مشترک باشند.

۲) موازی: اگر متقاطع نباشند.


مثال. در مکعب زیر، خط گذرنده از دو نقطهٔ‌ \(A\) و \(B\) را در نظر بگیرید.

الف) حداقل سه جفت نقطه نام ببرید به‌طوری‌که خط گذرنده از آنها با خط \(AB\) در یک صفحه قرار داشته باشند.

ب) حداقل سه جفت نقطه نام ببرید به‌طوری‌که خط گذرنده از آنها با خط \(AB\) در یک صفحه قرار نداشته باشند.

ج) به‌نظر شما، در پاسخ‌ قسمت «الف»‌ و «ب»، کدام خط‌ها با خط \(AB\) موازی‌اند؟‌

د) آیا می‌توانید صفحه‌ای رسم کنید که شامل هر دو خط \(AB\) و \(CG\) باشد؟

هـ) آیا می‌توانید صفحه‌ای رسم کنید که شامل هر دو خط \(AB\) و \(DG\) باشد؟

وضعیت دو خط متفاوت نسبت به‌هم در فضا

۱) متقاطع: اگر در یک نقطه مشترک باشند.

۲) موازی: اگر در یک صفحه باشند و متقاطع نباشند.

۳) متنافر: اگر هیچ صفحه‌ای شامل هر دو آن‌ها وجود نداشته باشد.

دو خط \(d_1\) و \(d_2\) را در نظر بگیرید. برای اینکه مشخص کنیم این دو خط متنافرند یا خیر، نقطه‌ای مانند \(A\) روی \(d_2\) را در نظر بگیرید؛ صفحهٔ گذرنده از خط \(d_1\) و نقطهٔ \(A\). را \(p\) می‌نامیم. حال اگر نقطه‌ای از خط \(d_2\) روی صفحهٔ \(p\) نباشد، دو خط \(d_1\) و \(d_2\) متنافرند.
برای مثال، در شکل زیر دو خط \(d_1\) و \(d_2\) متنافرند.

وضعیت یک خط و یک صفحه نسبت به‌هم

۱) اگر خط و صفحه در یک نقطه مشترک باشند، آنگاه خط و صفحه متقاطع‌اند.

خط $d$ صفحه $p$ را در نقطه $A$ قطع کرده است.

۲) اگر خط و صفحه اشتراک نداشته باشند، آنگاه خط و صفحه موازی‌اند.

در این مکعب هر خط وجه $EFGH$ با صفحه گذرنده از وجه $ABCD$ موازی است.

۳) اگر خط و صفحه در بیش از یک نقطه مشترک باشند، آنگاه خط بر صفحه واقع است.

وضعیت دو صفحه متفاوت نسبت به‌هم

۱) اگر دو صفحه اشتراکی نداشته باشند، دو صفحه موازی‌اند.

مثال: صفحه‌های گذرنده از وجه‌های روبه‌رو در مکعب با هم موازی‌اند.

۲) اگر نقطه‌ای در هر دو صفحه مشترک باشد، دو صفحه متقاطع اند.

توجه کنید اگر دو صفحه متقاطع باشند، محل برخورد دو صفحه یک خط است که به آن فصل مشترک دو صفحه می‌گویند.

در این شکل فصل مشترک دو صفحه با خط سیاه مشخص شده است.

مقایسهٔ‌ خاصیت‌های توازی در صفحه و فضا

اصل توازی در صفحه: در هر صفحه، از هر نقطه خارج از یک خط، فقط یک خط موازی با آن می‌توان رسم کرد.

آیا معادل اصل توازی در صفحه، در فضا نیز برقرار است؟

نتیجهٔ اصل توازی در صفحه: در صفحه، دو خط موازی با یک خط، با هم موازی هستند.

معادل این خاصیت را در فضا بیان کنید و دربارهٔ درستی آن بیندیشید.

در صفحه، دو خط عمود بر یک خط، باهم موازی هستند. آیا این خاصیت در فضا نیز برقرار است؟

 

« »

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *