قضیهٔ نسبت در میانه‌ های مثلث. در هر مثلث، میانه‌ها به نسبت \(2\) به \(1\) یکدیگر را قطع می‌کنند.

اثبات. در مثلث \(ABC\) سه میانهٔ \(AM\)، \(BN\)، و \(CK\) را رسم می‌کنیم.

همرسی میانه ها

بنابه نتیجهٔ قضیهٔ همرسی میانه‌ها، شش مثلث ایجاد شده در شکل بالا هم‌مساحت‌اند. پس: \[\frac{S_{ACG}}{S_{CGM}}=\frac{2}{1}\cdot\quad(1)\] از \(C\) خطی بر \(AM\) عمود می‌کنیم و پای عمود را \(H\) می‌نامیم.

نسبت در میانه‌ های مثلث

چون \(CH\) ارتفاع مثلث‌های \(ACG\) و \(CGM\) است، پس داریم: \[\begin{aligned}\frac{S_{ACG}}{S_{CGM}}&=\frac{\frac{1}{2}CH\times AG}{\frac{1}{2}CH\times CM}\\[9pt]&=\frac{AG}{GM}.\quad(2)\end{aligned}\]
حال، از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) نتیجه می‌شود:\[\frac{AG}{GM}=\frac{2}{1}\cdot\] پس میانه‌ها یکدیگر را به نسبت \(2\) به \(1\) قطع می‌کنند.

« »

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *